Odpowiedź:
15dm² nie wystarczy aby wykonać takie pudełko.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Musimy obliczyć pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego.
Wiemy, że każda z czterech ścian czworościany jest trójkątem równobocznym. Znając wzór na pole trójkąta równobocznego o danym boku mamy wzór na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego:
[tex]P_\Delta=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\\\\P_C=4\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3[/tex]
[tex]a[/tex] - krawędź czworościanu (bok trójkąta równobocznego)
W treści zadania mamy daną objętość.
[tex]V=\dfrac{9\sqrt2}{4}\ dm^3[/tex]
I teraz tak. Jeżeli ni znamy wzoru na objętość czworościanu foremnego, to musimy go sobie wyprowadzić. A jeżeli mamy, to z niego wyliczymy długość krawędzi.
Załóżmy, że go mamy (później wyprowadzę wzór).
[tex]V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}[/tex]
Podstawiamy daną objętość i wyliczamy długość krawędzi:
[tex]\dfrac{a^3\sqrt2}{12}=\dfrac{9\sqrt2}{4}\qquad|:\sqrt2\\\\\dfrac{a^3}{12}=\dfrac{9}{4}\qquad|\cdot12\\\\a^3=9\cdot3\\\\a^3=27\to a=\sqrt[3]{27}\\\\a=3(dm)[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=3^2\sqrt3=9\sqrt3\approx9\cdot1,73=15,57>15[/tex]
Wyprowadzenie wzoru.
Patrz załącznik.
Odcinek x stanowi 2/3 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie.
Czyli:
[tex]x=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{3}[/tex]
Mamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi x i H oraz przeciwprostokątną a.
Z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]x^2+H^2=a^2\\\\\left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2+H^2=a^2\\\\\dfrac{a^2(\sqrt3)^2}{3^2}+H^2=a^2\\\\\dfrac{3a^2}{9}+H^2=\dfrac{9a^2}{9}\qquad|-\dfrac{3a^2}{9}\\\\H^2=\dfrac{6a^2}{9}\to H=\sqrt{\dfrac{6a^2}{9}}\\\\H=\dfrac{a\sqrt6}{3}[/tex]
Podstawiamy na ogólny wzór na objętość ostrosłupów:
[tex]V=\dfrac{1}{3}P_pH[/tex]
[tex]V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt6}{3}=\dfrac{a^3\sqrt{18}}{36}=\dfrac{a^3\sqrt{9\cdot2}}{36}=\dfrac{a^3\cdot\sqrt9\cdot\sqrt2}{36}=\dfrac{a^3\cdot3\cdot\sqrt2}{36}\\\\V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}[/tex]
