Rozwiązane

Dany jest walec o polu powierzchni calkowitej 54 pi cm2. oblicz jaka wysokosc i promien podstawy powinien miec ten walec aby jego objetosc byla najwieksza
Daje naj! :) proszę o obliczenia

Odpowiedź :

Hankaviz

Wyznaczam h

[tex]P_c=2\pi r(r+h)\\\\2\pi r(r+h)=54\pi\ \ \ |:2\pi\\\\r(r+h)=27\\\\r^2+rh=27\\\\rh=27-r^2\ \ \ |:r\\\\h=\frac{27-r^2}{r}[/tex]

Obliczam r

[tex]V=\pi r^2h\\\\V=\pi r^2\cdot \frac{27-r^2}{r}\\\\V= r(27-r^2)\pi\\\\V=27r \pi-r^3\pi\\\\V'(r)=(27r \pi-r^3\pi)'=27\pi-3r^2\pi\\\\27\pi-3r^2\pi=0\\\\3\pi r^2=27\pi\ \ \ |:3\pi\\\\r^2=9\\\\r=3cm[/tex]

Obliczam h

[tex]h=\frac{27-r^2}{r}\\\\h=\frac{27-3^2}{3}\\\\h=\frac{27-9}{3}\\\\h=\frac{18}{3}\\\\h=6cm[/tex]

Trebor5xviz

V=H*π*R²

Pc=2*Pp+Pb=2*π*R²+2*π*R*H

H=(Pc-π*R²)/(2*π*R)

V=[(Pc-π*R²)*(π*R²)]/(2*π*R)

V=0,5*Pc*R - π*R³

Pierwsza pochodna przyrównana do zera:

dV/dR=0,5*Pc- 3 π*R² = 0

R=√(Pc/(6*π))

R=√(54*π*/(6*π)) = 3 cm

H=(54*π - 2*π*3²)/(2*π*3)= 6 cm

Teraz tylko warto sprawdzić czy znaleziony punkt to maksimum czy minimum. Wykres pochodnej to parabola z ramionami skierowanymi w dół, więc jej szczyt to maksimum.

Viz Inne Pytanie