Odpowiedź :
1)
prosta ma postac y = ax + b
prostopadla prosta wiec a1 * a2 = -1
( y - x = 7 ==> y = x + 7 => a1=1 )
1 * a2 = -1 wiec a2 = -1
y = -x + b - to rownanie szukanej prostej ale brakuje b wiec sprawdzmy warunek z okregiem
styczna do okregu jest wtedy gdy ma dokladnie jeden punkt wspolny
ukladamy uklad rownan i wiemy ze bedzie mial tylko 1 rozw (ten punkt)
x²+y²+2x-6y=0
y = -x + b
podstaw za y do pierwszego
x²+( -x + b )²+2x-6( -x + b ) = 0
x²+x²+ -2bx +b² + 2x +6x -6b= 0
2x²+ ( -2b + 8 ) x +b² -6b =0 (rozwiazujemy rown. kwadratowe )
Δ = ( -2b + 8 )² - 4 * 2 * (b² -6b) = 4b² - 32b + 64 - 8b² + 48b =
= - 4b² + 16b + 64
ale wiemy ze rozwiazanie jest dokladnie jedno a tzn ze
Δ = 0
- 4b² + 16b + 64 = 0
( to kolejne rownanie kwadratowe )
Δ = 16² - 4 * (-4) * 64 = 256 + 1024 = 1280
√Δ = 16 √5
b1 = -16 + 16√5 / -8 = 2 - 2√5
b2 = -16 - 16√5 / -8 = 2 + 2√5
wiec sa 2 proste spelniajace warunki zadania
y = -x + 2 - 2√5 i
y = -x + 2 + 2√5
2)
l: x-2y+5=0
o:(x+3)²+(y-1)²=5
x - 2y + 5 = 0 => x = 2y-5
wstawiam do rown okregu
(2y-5 + 3 ) ² + (y-1) ² = 5
(2y -2)² + (y - 1)² = 5
(2 (y-1) )² + ( y-1)² = 5
4 ( y-1)² + (y-1)² = 5
5 (y-1)² = 5
(y-1)² = 1
y² -2y + 1 =1
y² -2y = 0
y (y-2) = 0
y = 0 lub y-2=0
y1 = 0 lub y = 2
x = 2y-5
x1 = 2 * 0 -5 = -5
x2 = 2 * 2 - 5 = -1
wiec istnieja 2 punkty spelniajace uklad rownan : A = (-5,0) i B = (-1, 2 )
to oznacza ze prosta przecina okrag w tych 2 punktach
Jest to sieczna okręgu.
prosta ma postac y = ax + b
prostopadla prosta wiec a1 * a2 = -1
( y - x = 7 ==> y = x + 7 => a1=1 )
1 * a2 = -1 wiec a2 = -1
y = -x + b - to rownanie szukanej prostej ale brakuje b wiec sprawdzmy warunek z okregiem
styczna do okregu jest wtedy gdy ma dokladnie jeden punkt wspolny
ukladamy uklad rownan i wiemy ze bedzie mial tylko 1 rozw (ten punkt)
x²+y²+2x-6y=0
y = -x + b
podstaw za y do pierwszego
x²+( -x + b )²+2x-6( -x + b ) = 0
x²+x²+ -2bx +b² + 2x +6x -6b= 0
2x²+ ( -2b + 8 ) x +b² -6b =0 (rozwiazujemy rown. kwadratowe )
Δ = ( -2b + 8 )² - 4 * 2 * (b² -6b) = 4b² - 32b + 64 - 8b² + 48b =
= - 4b² + 16b + 64
ale wiemy ze rozwiazanie jest dokladnie jedno a tzn ze
Δ = 0
- 4b² + 16b + 64 = 0
( to kolejne rownanie kwadratowe )
Δ = 16² - 4 * (-4) * 64 = 256 + 1024 = 1280
√Δ = 16 √5
b1 = -16 + 16√5 / -8 = 2 - 2√5
b2 = -16 - 16√5 / -8 = 2 + 2√5
wiec sa 2 proste spelniajace warunki zadania
y = -x + 2 - 2√5 i
y = -x + 2 + 2√5
2)
l: x-2y+5=0
o:(x+3)²+(y-1)²=5
x - 2y + 5 = 0 => x = 2y-5
wstawiam do rown okregu
(2y-5 + 3 ) ² + (y-1) ² = 5
(2y -2)² + (y - 1)² = 5
(2 (y-1) )² + ( y-1)² = 5
4 ( y-1)² + (y-1)² = 5
5 (y-1)² = 5
(y-1)² = 1
y² -2y + 1 =1
y² -2y = 0
y (y-2) = 0
y = 0 lub y-2=0
y1 = 0 lub y = 2
x = 2y-5
x1 = 2 * 0 -5 = -5
x2 = 2 * 2 - 5 = -1
wiec istnieja 2 punkty spelniajace uklad rownan : A = (-5,0) i B = (-1, 2 )
to oznacza ze prosta przecina okrag w tych 2 punktach
Jest to sieczna okręgu.