z.1
r = 10 cm
Oznaczamy :
h -wysokość
2x - długość boku trójkąta równobocznego ABC
D = środek boku AB, czyli
AB = 2x, CD = h ,BC = 2x
O - środek okręgu o promieniu r = 10 cm
Obliczamy h oraz x.
Mamy trójkąt BCD, kąt BCD ma 30 stopni (180 -60 -90 =30)
x/h = tg 30 st. = √3/3
czyli 3x =h*√3
x =[√3/3]*h
Rozpatrujemy trójkąt DBO, gdzie DO = h/3
Mamy
x² + (h/3)² = r²
[( √3/3)h]² + h²/9 = r²
(3/9)h² + h²/9 = r²
(4/9)h² = r²
h =(3/2)*r = (3/2)*10 = 15
h = 15 cm.
x = (√3/3)*15 cm = 5*√3 cm
AB = 2x = 10*√3 cm
P =[ AB*h]/2 = [10*√3*15]/2 = 75√3
P = 75√3 cm²
z.2
Dany jest trójkąt ABC taki, że AB =2*22 cm = 44cm,
AB - średnica koła.
Kąt CBA ma 30 stopni, a kąt CAB ma 60 stopni.
AC/AB = sin 30 stopni = 1/2
AC/44 = 1/2 , stąd AC = 22
AC = 22cm
BC/AB = cos 30 stopni = √3/2
BC =22*√3
Odp. Boki ekierki maja 44cm,22cm,22*√3 cm.
z.3
b) AB =BC =AC = 12 cm
D = środek AB
CD = h - wysokość trójkąta.
Mamy h ² =12² -6² = 144 - 36 = 108 = 36*3
h = 6*√3
O -środek koła wpisanego
r = h/3 = 2*√3
P =π*r² = π*(2*√3)² = 12*π
P = 12*π cm²
Obwód koła wpisanego
c = 2πr =2π*2*√3 = 4*√3*π
c = 4*√3*π cm
a)r = (2/3) h =4*√3
Promień koła opisanego jest 2 razy większy od promienia
koła wpisanego.
Korzystamy z własności figur podobnych.
Zatem P1 =2²*P =4*12*π = 48*π
P1 = 48*π cm²
Obwód c1 = 2*c = 8*√3*π cm
