Odpowiedź :
Rozkładając wielomian trzeciego stopnia na czynniki ze wzoru skróconego
mnożenia wyciągamy pierwiastek trzeciego stopnia z pierwszego i
ostatniego czynnika, a potem sprawdzamy czy reszta wielomianu ma te same
współczynniki i znaki, które wynikają ze wzoru skróconego mnożenia.
Wzory:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a+b)³
a) zakładam, że 3x³ to literówka i miało być 3x², bo inaczej nie da się rozłożyć ze wzoru skróconego mnożenia
x³ - 3x² + 3x - 1
a = ∛[x³] = x
b = ∛1 = 1
Czyli zgodnie ze wzorem powinno być:
(x-1)³ = x³ - 3·x²·1 + 3·x·1² - 1³
zgadza się, więc:
x³ - 3x² + 3x - 1 = (x-1)³
b) x³ + 6x² + 12x + 8
szybszym sposobem jest "szukanie" wzoru od razu w podanym wyrażeniu
(choć wymaga nieco praktyki)
Najpierw sprawdzamy czy znaki (+-) zgadzają się z którymś wzorem
(jeśli nie, to nie da się skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia)
mamy same plusy czyli wzór (a+b)³
potem wyciągamy pierwiastek sześcienny z pierwszego jednomianu
(a =∛[x³] = x) i zapisujemy go jako sześcian,
a następnie rozkładamy każdy ze środkowych jednomianów na takie trzy czynniki, żeby dwa pierwsze zgadzały się ze wzorem ogólnym:
x³ + 6x² + 12x + 8 = (x)³ + 3·(x²)·2 + 3·x·4 + 8
sprawdzamy czy pozostałe czy ostatni jednomian i ostatnie czynniki w środkowych jednomianach i zgadzają się ze wzorem:
8 = 2³ = b³
2 = b;
4 = 2² = b²
skoro się zgadzają to mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia
x³ + 6x² + 12x + 8 = (x)³ + 3·(x)²·2 + 3·x·(2)² + (2)³ = (x + 2)³
c)
27 - 27x + 9x² - x³ = (3)³ - 3·(3)²·x + 3·3·(x)² - (x)³ = (3 - x)³
d)
{rozumiem, że w drugim jednomianie zgubiłeś x, bo inaczej nie można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia}
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
przy bardziej rozbudowanych jednomianach najpierw ustalamy "domniemane" a i b
a³ = 8x³ ⇒ a = 2x
b³ = 27y³ ⇒ b = 3y
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ =
= (2x)³ + 3·4·3·x²·y + 3·2·9·x·y² + (3y)³ =
= (2x)³ + 3·(2x)²·3y + 3·2x·(3y)² + (3y)³ =
= (2x + 3y)³
e)
1 + 6x + 12x² + 8x³ =
= 1³ + 3·1²·2x + 3·1·4x² + 8x³ =
= 1³ + 3·1²·2x + 3·1·(2x)² + (2x)³ =
= (1 + 2x)³
f)
{tym razem "zgubiony" y w trzecim jednomianie}
1 - 15y + 75y² - 125y³ =
= 1³ - 3·1²·5x + 3·1·25y² - 125y³ =
= 1³ - 3·1²·5x + 3·1·(5y)² - (5y)³ =
= (1 - 5y)³
Oczywiście zazwyczaj przeprowadza się wszystkie te obliczenia i sprawdzanie w pamięci, w rozwiązaniu podając tylko ostateczny wynik.
Wzory:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a+b)³
a) zakładam, że 3x³ to literówka i miało być 3x², bo inaczej nie da się rozłożyć ze wzoru skróconego mnożenia
x³ - 3x² + 3x - 1
a = ∛[x³] = x
b = ∛1 = 1
Czyli zgodnie ze wzorem powinno być:
(x-1)³ = x³ - 3·x²·1 + 3·x·1² - 1³
zgadza się, więc:
x³ - 3x² + 3x - 1 = (x-1)³
b) x³ + 6x² + 12x + 8
szybszym sposobem jest "szukanie" wzoru od razu w podanym wyrażeniu
(choć wymaga nieco praktyki)
Najpierw sprawdzamy czy znaki (+-) zgadzają się z którymś wzorem
(jeśli nie, to nie da się skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia)
mamy same plusy czyli wzór (a+b)³
potem wyciągamy pierwiastek sześcienny z pierwszego jednomianu
(a =∛[x³] = x) i zapisujemy go jako sześcian,
a następnie rozkładamy każdy ze środkowych jednomianów na takie trzy czynniki, żeby dwa pierwsze zgadzały się ze wzorem ogólnym:
x³ + 6x² + 12x + 8 = (x)³ + 3·(x²)·2 + 3·x·4 + 8
sprawdzamy czy pozostałe czy ostatni jednomian i ostatnie czynniki w środkowych jednomianach i zgadzają się ze wzorem:
8 = 2³ = b³
2 = b;
4 = 2² = b²
skoro się zgadzają to mamy do czynienia ze wzorem skróconego mnożenia
x³ + 6x² + 12x + 8 = (x)³ + 3·(x)²·2 + 3·x·(2)² + (2)³ = (x + 2)³
c)
27 - 27x + 9x² - x³ = (3)³ - 3·(3)²·x + 3·3·(x)² - (x)³ = (3 - x)³
d)
{rozumiem, że w drugim jednomianie zgubiłeś x, bo inaczej nie można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia}
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
przy bardziej rozbudowanych jednomianach najpierw ustalamy "domniemane" a i b
a³ = 8x³ ⇒ a = 2x
b³ = 27y³ ⇒ b = 3y
8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³ =
= (2x)³ + 3·4·3·x²·y + 3·2·9·x·y² + (3y)³ =
= (2x)³ + 3·(2x)²·3y + 3·2x·(3y)² + (3y)³ =
= (2x + 3y)³
e)
1 + 6x + 12x² + 8x³ =
= 1³ + 3·1²·2x + 3·1·4x² + 8x³ =
= 1³ + 3·1²·2x + 3·1·(2x)² + (2x)³ =
= (1 + 2x)³
f)
{tym razem "zgubiony" y w trzecim jednomianie}
1 - 15y + 75y² - 125y³ =
= 1³ - 3·1²·5x + 3·1·25y² - 125y³ =
= 1³ - 3·1²·5x + 3·1·(5y)² - (5y)³ =
= (1 - 5y)³
Oczywiście zazwyczaj przeprowadza się wszystkie te obliczenia i sprawdzanie w pamięci, w rozwiązaniu podając tylko ostateczny wynik.