Odpowiedź :
Sześciokąt foremny to sześciokąt, którego wszystkie kąty w środku są sobie równe, tak samo jak jego boki o długości "a".
Jego powierzchnia składa się z 6 równobocznych trójkątów, również o boku "a".
Z tego można łatwo zaobserwować, że dłuższa przekątna ma długość 2a.
Krótsza przekątna ma długość a√3, co można udowodnić tw. cosinusów.
x² = a² + a² - 2aa cosα, gdzie α to 2× kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego (60°)
Z tego wychodzi, że
x² = 2a² - 2a²cos120° = 2a²[1-(-½)]
x² = 3a²
x = a√3
To tak dla ciekawości, bo chyba w szkole nie wymagają wyznaczania tego.
A więc po tej teorii czas na rozwiązanie zadania:
a) dłuższa przekątna ma długość 10cm
2a = 10cm
a = 5cm
b) krótsza przekątna ma długość 3cm
a√3 = 3cm
a = 3cm/√3 = 3√3cm/3 = √3 cm
c) różnica długości dłuższej przekątnej i krótszej przekątnej wynosi 1cm.
2a - a√3 = 1
a(2-√3) = 1
a = 1/(2-√3) = (2+√3)/[(2-√3)(2+√3)] = (2+√3)/1
a = 2+√3cm
Jak coś niejasno wytłumaczyłem, to mogę spróbować przedstawić to inaczej przez pw
Jego powierzchnia składa się z 6 równobocznych trójkątów, również o boku "a".
Z tego można łatwo zaobserwować, że dłuższa przekątna ma długość 2a.
Krótsza przekątna ma długość a√3, co można udowodnić tw. cosinusów.
x² = a² + a² - 2aa cosα, gdzie α to 2× kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego (60°)
Z tego wychodzi, że
x² = 2a² - 2a²cos120° = 2a²[1-(-½)]
x² = 3a²
x = a√3
To tak dla ciekawości, bo chyba w szkole nie wymagają wyznaczania tego.
A więc po tej teorii czas na rozwiązanie zadania:
a) dłuższa przekątna ma długość 10cm
2a = 10cm
a = 5cm
b) krótsza przekątna ma długość 3cm
a√3 = 3cm
a = 3cm/√3 = 3√3cm/3 = √3 cm
c) różnica długości dłuższej przekątnej i krótszej przekątnej wynosi 1cm.
2a - a√3 = 1
a(2-√3) = 1
a = 1/(2-√3) = (2+√3)/[(2-√3)(2+√3)] = (2+√3)/1
a = 2+√3cm
Jak coś niejasno wytłumaczyłem, to mogę spróbować przedstawić to inaczej przez pw
szkoła średnia
Dział Wielokąty foremne
Przypomnijmy, że figurę nazywamy foremną, gdy ma wszystkie boki równej długości oraz wszystkie kąty wewnętrzne równej miary.
Przypomnijmy również, że w sześciokącie foremnym o boku długości [tex]a[/tex] krótsza przekątna ma długość [tex]a\sqrt{3},[/tex] zaś dłuższa przekątna ma długość [tex]2a.[/tex]
Zgodnie z powyższym:
[tex]a)\\2a=10\vline :2\\\boxed{a=5cm}\\\\b)\\a\sqrt{3}=3 \vline : \sqrt{3}\\a=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}\\\boxed{a=\sqrt{3}cm}\\\\c)\\2a-a\sqrt{3}=1\\a \cdot (2-\sqrt{3})=1 \vline :(2-\sqrt{3})\\a=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}\\\boxed{a=2+\sqrt{3}cm}[/tex]