Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{H=\dfrac{\sqrt6}{3}m}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Czworościan foremny
ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.
Czworościan foremny należy do wielościanów foremnych tzw. brył Platońskich (jest ich tylko pięć).
W treści zadania mym daną praktycznie sumę długości wszystkich krawędzi czworościanu. Jako, że każda z krawędzi ma tą samą długość, to możemy ją obliczyć dzieląc sumę długości krawędzi (6m) przez ich ilość (6)
6m : 6 = 1m
Do obliczenia mamy długość wysokości bryły.
Szukamy trójkąta prostokątnego, w którym jednym z boków jest wysokość czworościanu, a dwa pozostałe boki będą dane.
Skorzystamy wówczas z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Mamy taki trójkąt o przyprostokątnych x i H oraz przeciwprostokątnej a (rysunek w załączniku).
[tex]x^2+H^2=a^2[/tex]
Odcinek x stanowi 2/3 wysokości podstawy, która jest trójkątem równobocznym.
Wysokość h trójkąta równobocznego o boku a obliczamy ze wzoru:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Stąd odcinek x będzie wyrażał się następująco:
[tex]x=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup}=\dfrac{a\sqrt3}{3}[/tex]
Jako, że a = 1m, to
[tex]x=\dfrac{\sqrt3}{3}m[/tex]
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2+H^2=1^2\\\\\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1}{9\!\!\!\!\diagup_3}+H^2=1\qquad|-\dfrac{1}{3}\\\\H^2=\dfrac{2}{3}\Rightarrow H=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\\\\H=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\\huge\boxed{H=\dfrac{\sqrt6}{3}(m)}[/tex]
