Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{k: y=\dfrac{3x-17}2}[/tex]
Funkcja liniowa
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Równanie prostej w postaci kierunkowej:
[tex]\huge\boxed{f(x)=ax+b}[/tex]
gdzie:
- a - współczynnik kierunkowy
- b - wyraz wolny
Punkt leżący na prostej
Prosta y=ax+b przechodzi przez punkt P=(x₀, y₀) wtedy, kiedy zachodzi równość:
[tex]\huge\boxed{y_0=ax_0+b}[/tex]
Równanie prostej przechodzącej przez punkty
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂) należy rozwiązać układ równań:
[tex]\huge\boxed{\left\{\begin{array}{l}y_1=ax_1+b\\y_2=ax_2+b\end{array}\right\:}[/tex]
Proste prostopadłe
Dwie proste o równaniach kierunkowych są prostopadłe wtedy, kiedy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1, czyli wtedy, kiedy współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego drugiej prostej.
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{ccc}\text{Dla: }&k: y=a_1x+b&l: y=a_2x+b\\\multicolumn{3}{c}{\boxed{a_1\cdot a_2=-1 \to a_2=-\dfrac{1}{a_1}}}\end{array}}[/tex]
Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej przechodzącej przez punkty A i B należy:
- Rozwiązać układ równań prostych przechodżacych przez punkty A i B. Wystarczy, że z układu wyznaczymy współczynnik "a" (kierunkowy).
- Wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej.
- Podstawić współrzędne punktu B oraz wyznaczony uprzednio współczynnik kierunkowy do równania prostej i wyznaczyć wyraz wolny.
Krok 1:
[tex]A=(-1, 3), B=(5, -1)\\\\\left\{\begin{array}{l}3=-1a+b |\cdot (-1)\\-1=5a+b\end{array}\right\:\\\underline{+\left\{\begin{array}{l}-3=a-b\\-1=5a+b\end{array}\right\:}\\-3+(-1)=a+5a\\-4=6a |:6\\a=-\dfrac46\\\underline{a=-\dfrac23}[/tex]
Krok 2:
[tex]-\dfrac23\cdot a_k=-1 \left|\cdot\left(-\dfrac32\right)\right\:\\\underline{a_k=\dfrac32}[/tex]
Krok 3:
[tex]-1=\dfrac32\cdot 5+b\\-1=\left\:\dfrac{15}2+b \right|-\dfrac{15}2\\-\dfrac22-\dfrac{15}2=b\\\underline{-\dfrac{17}2=b}\\\\y=\dfrac32x-\dfrac{17}2\\\\\boxed{y=\dfrac{3x-17}2}[/tex]
