Dla walca o promieniu r oraz wysokości H, mamy dane pole powierzchni całkowitej:
[tex]S=2S_p+S_b=2\pi r^2+2\pi rH[/tex]
na tej podstawie możemy wyznaczyć wysokość H
[tex]2\pi r H=S-2\pi r^2\\H=\frac{S}{2\pi r}-r[/tex]
Objętość takiego walca:
[tex]V=S_pH=\pi r^2 H\\V=\pi r^2(\frac{S}{2\pi r}-r)=\frac{1}{2}Sr-\pi r^3[/tex]
Szukamy takiego promienia, dla którego objętość jest największa, czyli:
[tex]\frac{dV}{dr}=\frac{1}{2}S-3\pi r^2=0\\r=\sqrt{\frac{S}{6\pi}}=\sqrt{\frac{4\pi}{6\pi}}=\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex]
Można również sprawdzić, że jest to faktycznie maksimum:
[tex]\frac{d^2V}{dr^2}=-6\pi r > 0[/tex]
Ponieważ druga pochodna jest w rozważanym punkcie dodatnia, wyznaczone ekstremum to maksimum.
pozdrawiam
