Wektor położenia, zapisany w układzie kartezjańskim:
[tex]\vec{r}=[x,y]\\x(t)=At\\y(t)=Bt^2[/tex]
z równania dla współrzędnej x wyznaczę czas i wstawię go do równania na współrzędną y
[tex]t=\frac{x}{A}\\y(x)=\frac{B}{A^2}x^2[/tex]
jest to równanie paraboli.
Prędkość:
[tex]\vec{V}=\dot{\vec{r}}=[A;\,2Bt][/tex]
oraz przyspieszenie:
[tex]\vec{a}=\ddot{\vec{r}}=[0;\, 2B][/tex]
Kąt między V oraz a można wyznaczyć na podstawie iloczynu skalarnego:
[tex]\vec{V}\cdot\vec{a}=[A;\,2Bt]\cdot[0;\,2B]=4B^2t[/tex]
z drugiej strony:
[tex]\vec{V}\cdot\vec{a}=|\vec{V}||\vec{a}|\cos\alpha[/tex]
gdzie α jest kątem między wektorem prędkości i przyspieszenia.
Porównując obydwa wyrażenia:
[tex]\cos\alpha=\frac{4B^2t}{\sqrt{A^2+4(Bt)^2}\cdot 2B}=\frac{2Bt}{\sqrt{A^2+4B^2t^2}}[/tex]
W chwili początkowej (t=0), kąt ten wynosi:
[tex]\alpha=\arccos{0}=\pi/2[/tex]
natomiast dla t -> ∞
[tex]\alpha\to\arccos{\frac{2Bt}{2Bt}}=0[/tex]
Przyspieszenie rozpisane na składową styczną i normalną:
[tex]a_s=\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{A^2+4B^2t^2}=\frac{8B^2t}{2\sqrt{A^2+4B^2t^2}}\\a_s=\frac{4B^2t}{\sqrt{A^2+4B^2t^2}}\\\\a_n=\sqrt{a^2-a_s^2}=\sqrt{4B^2-\frac{16B^4t^2}{A^2+4B^2t^2}}\\a_n=\frac{\sqrt{4A^2B^2+16B^4t^2-16B^4t^2}}{\sqrt{A^2+4B^2t^2}}=\frac{2AB}{\sqrt{A^2+4B^2t^2}}[/tex]
pozdrawiam
