Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ⇒ w podstawie jest sześciokąt foremny.
Sześciokąt foremny możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych.
[tex]P_{p} =P_{szesciokata~~foremnego} =6\cdot P\Delta_{rownobocznego} ~~\land~~P\Delta_{rownobocznego} =\dfrac{x^{2} \sqrt{3} }{4}, ~~x-dlugosc~~boku~~trojkata~~rownobocznego\\\\P_{p} =\dfrac{ 3\sqrt{3}\cdot x^{2} }{2}[/tex]
H - wysokość ostrosłupów
I.
Ostrosłup₁ o krawędzi podstawy 2a
[tex]P_{p1} =\dfrac{ 3\sqrt{3}\cdot x^{2} }{2}~~\land ~~x=2a\\\\P_{p1} =6\sqrt{3}\cdot a^{2}\\\\V_{1} =\dfrac{1}{3} \cdot P_{p1} \cdot H\\\\V_{1} =\dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3}\cdot a^{2} \cdot H=2\sqrt{3}\cdot a^{2}H~~[/tex]
II.
Ostrosłup₂ o krawędzi podstawy a
[tex]\\P_{p2} =\dfrac{ 3\sqrt{3}\cdot x^{2} }{2}~~\land ~~x=a\\\\P_{p2} =\dfrac{ 3\sqrt{3}\cdot a^{2} }{2} \\\\V_{2} =\dfrac{1}{3} \cdot P_{p2} \cdot H\\\\V_{2} =\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{ 3\sqrt{3}\cdot a^{2} }{2}\cdot H=\dfrac{ \sqrt{3}\cdot a^{2}H }{2}~~[/tex]
Teraz obliczę stosunek objętości pierwszego ostrosłupa V₁ do objętości drugiego ostrosłupa V₂.
[tex]\dfrac{V_{1} }{V_{2} } =V_{1} \div V_{2} \\\\\dfrac{V_{1} }{V_{2} } =(2\sqrt{3} \cdot a^{2} H)\div ( \dfrac{\sqrt{3} \cdot x^{2} H}{2} )=\dfrac{2\sqrt{3} \cdot a^{2} H }{1} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} \cdot x^{2} H } =4[/tex]
Odp : Szukany stosunek objętości pierwszego ostrosłupa do drugiego ostrosłupa wynosi 4.
