to:
[tex]\large\boxed{\ \bold{(x-a)^2+(y-b)=r^2}\,\big\, }[/tex]
gdzie (a, b) to środek okręgu, a r to jego promień.
mamy dane równanie okręgu O₁:
[tex](x+2)^2 + (y-5)^2 = 16[/tex]
czyli:
Drugi okrąg (O₂) ma dane:
B = (14, -7) ⇒ a₂ = 14, b₂ = -7
r₂ = 3r₁ = 3·4 = 12
Zatem jego równanie to:
[tex](x-14)^2+\big(x-(-7)\big)^2=12^2\\\\\large\text{$(x-14)^2+(x+7)^2\,=\,144$}[/tex]
przechodzącej przez punkty A i B to:
[tex]\large\boxed{a_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}[/tex]
Naszymi punktami są środki okręgów:
Czyli współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez środki okręgów to:
[tex]a_{AB}=\dfrac{-7-5}{14+2}=\dfrac{-12}{16}=-\dfrac34[/tex]
o znanym współczynniku kierunkowym a przechodzącej przez dany punkt P = (x₀, y₀) to:
[tex]\large\boxed{\,y=a(x-x_0)+y_0\big\,}[/tex]
Znamy dwa punkty, przez które przechodzi prosta, więc wybieramy dowolny z nich:
A = (-2, 5) ⇒ x₀ = -2, y₀ = 5
Zatem:
Równanie prostej przechodzącej przez środki obu okręgów:
[tex]y=-\dfrac34\big(x-(-2)\big)+5\\\\y=-\dfrac34\,x-\dfrac32+\dfrac{10}2\\\\\large\text{$\bold{y=-\dfrac34\,x+\dfrac{7}2}$}[/tex]
Punkt należy do okręgu, jeśli jego współrzędne spełniają równanie tego okręgu:
[tex](x+2)^2 + (y-5)^2 = 16\qquad \wedge\quad A=(1,8)\\\\(1+2)^2 + (8-5)^2 = 16\\\\3^2 + 3^2 = 16\\\\18\ne16[/tex]
Czyli zadnie:
"Punkt A = (1, 8) należy do okręgu O₁" to FAŁSZ
Długość okręgu to:
[tex]\large\boxed{L=2\pi r}[/tex]
gdzie r to długość promienia okręgu.
[tex]r=4\quad\implies\quad L=2\pi\cdot 4=8\pi\ \,\ne16\pi[/tex]
Czyli zadnie:
"Długość okręgu O₁ wynosi 16π" to również FAŁSZ
