[tex]\huge\begin{array}{ccc}a)\ \log_9\sqrt[3]{32}\approx\dfrac{1}{3}\\b)\ \log_972\approx1,9\\c)\ \log_89\approx\dfrac{10}{9}\end{array}[/tex]
Definicja logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b[/tex]
gdzie
[tex]a\neq1\ \wedge\ a,b > 0[/tex]
Definicja potęgi o wykładniku wymiernym:
[tex]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}[/tex]
Twierdzenia:
[tex]\log_ab^n=n\cdot\log_ab\\\\\log_a(b\cdot c)=\log_ab+\log_ac\\\\\log_ab=\dfrac{a}{\log_ba}[/tex]
dla
[tex]a\neq1\ \wedge\ a,b > 0[/tex]
Na podstawie powyższych definicji i twierdzeń oraz, że [tex]\log_92\approx0,3[/tex] przechodzimy do rozwiązań:
[tex]a)\ \log_9\sqrt[3]{32}=\log_9\sqrt[3]{2^5}=\log_92^{\frac{5}{3}}=\dfrac{5}{3}\log_92\approx\dfrac{5}{3}\cdot0,3=\dfrac{5\!\!\!\!\diagup^1}{3\!\!\!\!\diagup_1}\cdot\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1}{15\!\!\!\!\!\diagup_3}=\boxed{\dfrac{1}{3}}[/tex]
[tex]b)\ \log_972=\log_9(9\cdot8)=\log_99+\log_98=1+\log_92^3=1+3\log_92\\\\\approx1+3\cdot0,3=1+0,9=\boxed{1,9}[/tex]
[tex]c)\ \log_89=\dfrac{1}{\log_98}=\dfrac{1}{\log_92^3}=\dfrac{1}{3\log_92}\approx\dfrac{1}{3\cdot0,3}=\dfrac{1}{0,9}=\dfrac{1}{\frac{9}{10}}=\boxed{\dfrac{10}{9}}[/tex]
