Odpowiedź :
Rozwiązania:
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|}\cline{1-4}\:&\text{Wierzcholek}&\text{Punkty nalezace}&\text{Wzory}\\\cline{1-4}\:&\:&\:&f(x)=-x^2-6x-5\\a)&W=(-3; 4)&P=(-6;5)&f(x)=-(x+1)(x+5)\\\:&\:&\:&f(x)=-(x+3)^2+4\\\cline{1-4}\:&\:&P=(-2; 30)&f(x)=7x^2-4x-6\\b)&\:&Q=(0; -6)&f(x)=7\left(x-\frac{2-\sqrt{46}}7\right)\left(x+\frac{2+\sqrt{46}}7\right)\\\:&\:&R=(2; 14)&f(x)=7\left(x-\frac27\right)^2-\frac{46}7\\\cline{1-4}\end{array}[/tex]
Postać ogólna funkcji kwadratowej:
[tex]\huge\boxed{f(x)=ax^2+bx+c}[/tex]
a, b, c - współczynniki liczbowe, przy czym a≠0
c - miejsce przecięcia funkcji z osią OY.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}[/tex]
a, x₁, x₂ - współczynniki liczbowe, przy czym a≠0.
Współczynniki x₁, x₂ to miejsca zerowe funkcji.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q}[/tex]
a, p, q - współczynniki liczbowe, przy czym a≠0.
Współczynniki p i q to współrzędne wierzchołka paraboli: [tex]W=(p; q)[/tex]
Jak sprawdzić czy punkt należy do funkcji?
Należy jego współrzędne podstawić za współczynniki x i y wzoru funkcji i sprawdzić, czy równanie jest prawdziwe.
Rozwiązanie:
Kroki:
- Wyznaczamy postać kanoniczną funkcji (a jest niewiadome)
- Do wzoru podstawiamy współrzędne punktu należącego do tej funkcji
- Wyznaczamy "a"
- Współrzędne wierzchołka i odnalezione "a" podstawiamy pod wzór na postać kanoniczną.
- Wyznaczamy postać ogólną i iloczynową.
a)
[tex]W=(-3; 4)\\\\f(x)=a(x+3)^2+4\\\\P=(-6; -5)\\\\a(-6+3)^2+4=-5 /-4\\a(-3)^2=-9\\9a=-9 /:9\\a=-1\\\\\boxed{f(x)=-(x+3)^2+4}[/tex]
Wzór możemy także rozpisać do postaci ogólnej:
[tex]f(x)=-(x+3)^2+4\\f(x)=-(x^2+6x+9)+4\\f(x)=-x^2-6x-9+4\\\boxed{f(x)=-x^2-6x-5}[/tex]
Wyznaczamy Δ, miejsca zerowe i podstawiamy do wzoru na postać iloczynową:
[tex]\Delta=(-6)^2-4*(-1)*(-5)=36-20=16\\\sqrt{\Delta}=4\\x_1=\dfrac{6-4}{-2}=\dfrac{2}{-2}=-1\\\\x_2=\dfrac{6+4}{-2}=\dfrac{10}{-2}=-5\\\\\boxed{f(x)=-(x+1)(x+5)}[/tex]
________________________________________________________
Kroki:
- Układamy układ trzech równań podstawiając współrzędne znanych nam punktów do postaci ogólnej funkcji.
- Wyznaczamy współczynnik "b".
- Przekształcamy układ to dwóch równań z dwoma niewiadomymi.
- Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.
- Podstawiamy znane współczynniki do postaci ogólnej funkcji kwadratowej.
- Wyznaczamy postać kanoniczną i iloczynową.
b)
[tex]P=(-2; 30)\\Q=(0; -6)\\R=(2; 14)[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{c}30=(-2)^2*a+(-2)*b+c\\-6=0^2*a+0*b+c\\14=2^2*a+2*b+c\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{c}30=4a-2b+c\\-6=c\\14=4a+2b+c\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{c}30=4a-2b-6 /+6\\14=4a+2b-6 /+6\end{array}\right\\\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{c}36=4a-2b\\20=4a+2b\end{array}\right}\\\\36+20=4a+4a\\56=8a /:8\\a=7\\20=4*7+2b\\20=28+2b /-28\\-8=2b /:2\\b=-4\\\\\boxed{f(x)=7x^2-4x-6}[/tex]
Wyznaczamy Δ, miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli aby wyznaczyć postać kanoniczną i iloczynową.
[tex]\Delta=(-4)^2-4*7*(-6)=16+168=184\\\\p=\dfrac{4}{14}=\dfrac27\\\\q=\dfrac{-184}{28}=-\dfrac{46}7\\\\\boxed{f(x)=7\left(x-\dfrac27\right)^2-\dfrac{46}7}\\\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{184}=2\sqrt{46}\\\\x_1=\dfrac{4-2\sqrt{46}}{2*7}=\dfrac{2(2-\sqrt{46})}{2*7}=\dfrac{2-\sqrt{46}}7\\\\x_2=\dfrac{4+2\sqrt{46}}{2*7}=\dfrac{2(2+\sqrt{46})}{2*7}=\dfrac{2+\sqrt{46}}7\\\\\boxed{f(x)=7\left(x-\dfrac{2-\sqrt{46}}{7}\right)\left(x-\dfrac{2+\sqrt{46}}7\right)}[/tex]