[tex]\bold{P(A)=\dfrac{400}{90\,000}=\dfrac{1}{225}}}[/tex]
Prawdopodobieństwo.
Prawdopodobieństwo to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających (możliwych wyników spełniających warunki zadania [tex]\left(\,\overline{\overline A}\,\right)[/tex] ) do liczby wszystkich możliwych wyników [tex]\left(\,\overline{\overline \Omega}\,\right)[/tex]:
[tex]\bold{P(A)=\dfrac{\overline{\overline A}}{\overline{\overline \Omega}}}[/tex]
Tutaj losujemy jedną liczbę pięciocyfrową, więc wszystkich możliwych wyników jest tyle, co wszystkich liczb pięciocyfrowych:
- Pierwszą cyfrą nie może być zero, czyli mamy 9 możliwych cyfr.
- Na każdym z kolejnych miejsc może wystąpić dowolna z dziesięciu cyfr.
Czyi zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych (i wszystkich możliwych wyników) jest:
[tex]\bold{\overline{\overline \Omega}=9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=90\,000}[/tex]
Z ustaleniem liczby zdarzeń sprzyjających jest zazwyczaj nieco więcej zabawy. Tutaj wylosowana liczba ma spełniać dwa warunki jednocześnie:
- Liczba jest podzielna przez 4.
- Trzy początkowe cyfry liczby tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.
Ad. 1.:
Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.
Czyli mamy 25 możliwych "końcówek" wylosowanej liczby:
00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 i 96
Ad. 2.:
Ciąg arytmetyczny rosnący to ciąg liczb, z których każda następna jest większa od poprzedniej o stałą wartość, zwaną różnicą ciągu (r).
Zatem, możliwe "początki" to:
- r = 1: 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789 - 7 możliwości
- r = 2: 135, 246, 357, 468, 579 - 5 możliwości
- r = 3: 147, 258, 369 - 3 możliwości
- r = 4: 159 - 1 możliwość
{Przy różnicy r=5, trzecia liczba byłaby już dwucyfrowa.}
Czyli łącznie mamy:
7 + 5 + 3 + 1 = 16 możliwych "początków".
Każdy początek może "wystąpić" z każdym "końcem".
Czyli, zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń sprzyjających jest:
[tex]\bold{\overline{\overline A}=25\cdot16=400}[/tex]
Zatem prawdopodobieństwo tego, że wylosowana liczba będzie podzielna przez 4, a jej trzy początkowe cyfry utworzą rosnący ciąg arytmetyczny wynosi:
[tex]\large\boxed{\bold{P(A)=\dfrac{\overline{\overline A}}{\overline{\overline \Omega}}=\dfrac{400}{90\,000}=\dfrac{4}{900}=\dfrac{1}{225}}}[/tex]
