Rysunek pomocniczy w załączniku.
Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z jego wierzchołka i dzieląca go na pół.
Stąd:
[tex]\bold{|\angle BAC|=|\angle CAD|=\frac12|\angle BAD|=\frac12\cdot60^o=30^o}[/tex]
Z twierdzenia o prostych równoległych przeciętych sieczną wiemy, że kąty odpowiadające utworzone przez te proste mają tę samą miarę.
Czyli:
[tex]\bold{|\angle ACD|=|\angle BAC|=30^o}[/tex]
Zatem trójkąt ACD jest równoramienny.
|AD| = |CD|
W trójkącie równoramiennym wysokość (DE) poprowadzona z kąta między ramionami dzieli podstawę (AC) na pół, czyli:
[tex]\bold{|CE| = \frac12|AC| = \frac12\cdot6=3}[/tex]
Stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej to cosinus tego kąta.
Stąd:
[tex]\bold{\dfrac{|CE|}{|CD|}=\cos\angle ECD}\\\\\bold{\dfrac{3}{|CD|}= \cos30^o\qquad/\cdot|CD|} \\\\ \bold{3=\dfrac{\sqrt3}2\cdot |CD|\qquad/\cdot\dfrac2{\sqrt3}}\\\\\bold{|CD|=\dfrac6{\sqrt3}=2\sqrt3}[/tex]
oraz: |AD| = 2√3
Ramię BC tego trapezu najszybciej obliczymy korzystając z twierdzenia cosinusów:
[tex]\bold{|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2|AB||AC|\cos\angle BAC}\\\\ \bold{|BC|^2=6^2+(8\sqrt3)^2-2\cdot8\sqrt3\cdot6\cdot\cos30^o}\\\\ \bold{|BC|^2=36+64\cdot3-2\cdot48\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2}\\\\ \bold{|BC|^2=36+64\cdot3-48\cdot3}\\\\ \bold{|BC|^2=36+16\cdot3}\\\\ \bold{|BC|^2=84}\\\\ \bold{|BC|=\sqrt{84}=2\sqrt{21}}[/tex]
Zatem:
Obwód trapezu ABCD:
[tex]\bold{Obw._{ABCD}=|AB| +|BC|+|CD|+|AD|}\\\\\bold{Obw._{ABCD}=8\sqrt3 +2\sqrt{21}+2\sqrt3+2\sqrt3=12\sqrt3+2\sqrt{21}}\\\\\large\boxed{\bold{Obw._{ABCD}=2\sqrt3\left(6+\sqrt7\right)}}[/tex]
