Odpowiedź :
Zdarzenia A i B nie są niezależne.
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia to szansa na to, że to zdarzenie zajdzie. Jako [tex]\Omega[/tex] oznaczamy przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń. Zdarzenia oznaczamy przez wielkie litery alfabetu, np. A, B. Wartość prawdopodobieństwa zapisujemy w postaci P(A), P(B). Zachodzą następujące związki:
- [tex]P(\Omega)=1[/tex],
- [tex]0 \le P(A) < 1[/tex], [tex]0 \le P(B) < 1[/tex],
- [tex]P(\emptyset)=0[/tex].
Jeśli znamy moc zbiorów A, B, [tex]\Omega[/tex] (jeśli mamy zbiory skończone, mocą zbioru nazywamy ilość elementów zbioru), to prawdopodobieństwo możemy liczyć następująco:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}, P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}[/tex].
Zdarzenia niezależne
Mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli zachodzi warunek:
[tex]P(A \cap B)=P(A)*P(B)[/tex],
gdzie [tex]A \cap B[/tex] to iloczyn zbiorów A i B, czyli ich część wspólna.
Kombinacja bez powtórzeń
Kombinacją bez powtórzeń nazywamy k-elementowy podzbiór n-elementowego zbioru. Taką kombinację liczymy ze wzoru:
[tex]C_n^k={n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex],
gdzie zapis [tex]n!=1*2*3*...*n[/tex] to silnia, a [tex]{n \choose k}[/tex] to symbol Newtona (czytamy n po k).
Losujemy jednocześnie dwie karty z talii 52 kart. W takiej talii mamy 26 kart czarnych i 26 kart czerwonych, w tym po dwie sztuk kart czarnych od 2 do 10, walet, dama, król i as oraz tak samo po dwie sztuki kart czerwonych od 2 do, walet, dama, król i as.
Mamy dwa zdarzenia: A - wylosowano asa i króla, B - wylosowano obie karty czerwone.
Rozpatrzmy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń [tex]\Omega[/tex]. Losujemy jednocześnie dwie karty z talii 52 dwóch kart, zatem mamy:
[tex]|\Omega|=C_{52}^2={52 \choose 2}=\frac{52!}{2!(52-2)!}=\frac{52!}{2!*50!}=\frac{51*52}{1*2}=51*26=1326[/tex].
Dla zdarzenia A mamy - losujemy dwie karty z 8 kart (w talii mamy 4 asy i 4 króle):
[tex]|A|=C_8^2={8 \choose 2}=\frac{8!}{2!*(8-2)!}=\frac{8!}{2!*6!}=\frac{7*8}{1*2}=7*4=28[/tex].
Dla zdarzenia B mamy - losujemy dwie karty z 26 kart (w talii jest 26 kart czerwonych):
[tex]|B|=C_{26}^2={26 \choose 2}=\frac{26!}{2!*(26-2)!}=\frac{26!}{2!*24!}=\frac{25*26}{1*2}=25*13=325[/tex].
Możemy teraz policzyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń A i B:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{28}{1326}=\frac{14}{663}\\P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{325}{1326}=\frac{25}{102}[/tex]
Aby sprawdzić, czy zdarzenia te są niezależne, musimy sprawdzić, czy zachodzi równość:
[tex]P(A \cap B)=P(A)*P(B)[/tex].
Zbiór zdarzeń [tex]A \cap B[/tex] to taki zbiór, który zawiera elementy należące jednocześnie do zbiorów A i B. Zatem interesują nas dwie wylosowane karty czerwone - as i król. Mamy dwa asy czerwone i dwa króle czerwone, więc:
[tex]|A \cap B|=C_4^2={4 \choose 2}=\frac{4!}{2!*(4-2)!}=\frac{4!}{2!*2!}=\frac{3*4}{1*2}=3*2=6\\P(A \cap B)=\frac{|A \cap B|}{|\Omega|}=\frac6{1326}=\frac1{221}[/tex]
Sprawdzamy, czy zachodzi równość:
[tex]P(A \cap B)=P(A)*P(B)[/tex]
[tex]P=P(A)*P(B)=\frac{14}{663}*\frac{25}{102}=\frac{350}{67626}=\frac{175}{38675}\\L=P(A \cap B)=\frac1{221}=\frac{175}{38675}[/tex]
Zauważamy, że [tex]P(A \cap B) \neq P(A)*P(B)[/tex].
Czyli zdarzenia A i B nie są niezależne.