[tex]\huge\boxed{B(19,\ 4+11\sqrt3)\ \vee\ B(-3,\ 4-11\sqrt3)}[/tex]
Dany jest punkt A(8, 4) oraz kąt nachylenia prostej AB do osi OX równy
α = 60°.
Równanie kierunkowe prostej:
[tex]y=ax+b[/tex]
gdzie
[tex]a=\text{tg}\alpha[/tex] - współczynnik kierunkowy prostej, [tex]\alpha[/tex] - kąt nachylenia prostej do osi OX.
Podstawiamy do równania prostej:
[tex]\text{tg}60^o=\sqrt3\to a=\sqrt3\\\\x=8,\ y=4\\\\4=\sqrt3\cdot8+b\\\\8\sqrt3+b=4\qquad|-8\sqrt3\\\\b=4-8\sqrt3[/tex]
Otrzymujemy równanie prostej AB:
[tex]AB:y=\sqrt3x+4-8\sqrt3[/tex]
Do znalezienia mamy współrzędne punktu B, tak, aby |AB| = 22.
Długość odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Współrzędne szukanego punktu B muszą spełniać równanie prostej AB oraz równanie długości odcinka.
Stąd otrzymujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}y=\sqrt3x+4-8\sqrt3\\\\\sqrt{(x-8)^2+(y-4)^2}=22\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego.
[tex]\sqrt{(x-8)^2+(\sqrt3x+4-8\sqrt3-4)^2}=22\\\\\sqrt{(x-8)^2+(\sqrt3x-8\sqrt3)^2}=22\\\\\sqrt{(x-8)^2+\left[\sqrt3(x-8)\right]^2}=22\\\\\sqrt{(x-8)^2+(\sqrt3)^2(x-8)^2}=22\\\\\sqrt{(x-8)^2+3(x-8)^2}=22\\\\\sqrt{4(x-8)^2}=22\\\\\sqrt4\cdot\sqrt{(x-8)^2}=22\\\\2\sqrt{(x-8)^2}=22[/tex]
korzystamy z twierdzenia: [tex]\sqrt{a^2}=|a|[/tex]
[tex]2|x-8|=22\qquad|:2\\\\|x-8|=11\iff x-8=11\ \vee\ x-8=-11\qquad|+8\\\\\boxed{x=19\ \vee\ x=-3}[/tex]
obliczamy wartość y:
[tex]y=\sqrt3x+4-8\sqrt3\\\\x=19\\\\y=\sqrt3\cdot19+4-8\sqrt3\\\\y=19\sqrt3+4-8\sqrt3\\\\\boxed{y=4+11\sqrt3}\\\\x=-3\\\\y=\sqrt3\cdot(-3)+4-8\sqrt3\\\\y=-3\sqrt3+4-8\sqrt3\\\\\boxed{y=4-11\sqrt3}[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\boxed{B(19,\ 4+11\sqrt3)\ \vee\ B(-3,\ 4-11\sqrt3)}[/tex]
