[tex]a,b,c,d > 0[/tex]
Ciąg arytmetyczny:
[tex]a,b,c[/tex]
Ciąg geometryczny:
[tex]a,d,c[/tex]
Suma tych dwóch ciągów jest zależna od środkowych wyrazów:
[tex]b=\dfrac{a+c}{2}[/tex]
[tex]d=\sqrt{ac}[/tex]
Która liczba jest większa?
[tex]b\quad?\quad d[/tex]
[tex]\dfrac{a+c}{2}\quad?\quad\sqrt{ab}\quad|^2[/tex]
[tex]\dfrac{a^2+2ac+c^2}{4}\quad?\quad ab\quad|\cdot4[/tex]
[tex]a^2+2ac+c^2\quad?\quad 4ab[/tex]
[tex]a^2-2ac+c^2\quad?\quad0[/tex]
[tex](a-c)^2\quad?\quad0[/tex]
[tex](a-c)^2\quad\ge\quad0[/tex]
Jeżeli [tex]a=c[/tex], czyli ciągi są stałe, to [tex]b=d[/tex]. Natomiast jeżeli ciągi są rosnące lub malejące, to [tex]b > d[/tex].
Odpowiedź:
Jeżeli ciągi nie są stałe, to suma ciągu arytmetycznego jest większa od sumy ciągu geometrycznego. Jeśli są stałe, to sumy są równe.
