Odpowiedź :
Wielomian [tex]w(x)=(x-2)(x^2-2mx+1-m^2)[/tex] ma 3 różne pierwiastki dla [tex]m\in(-\infty,-5)\cup(-5,-\frac{\sqrt2}2)\cup(\frac{\sqrt2}2,1)\cup(1,+\infty)[/tex].
Rozwiązanie równania kwadratowego
Równanie kwadratowe to równanie postaci [tex]ax^2+bx+c=0,a\neq0[/tex]. Czyli jest to takie równanie, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze.
Aby rozwiązać takie równanie, należy najpierw policzyć wyróżnik równania kwadratowego:
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex].
Jeśli [tex]\Delta > 0[/tex], to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, które wyznaczamy ze wzorów:
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Mamy dany wielomian [tex]w(x)=(x-2)(x^2-2mx+1-m^2)[/tex]. Aby znaleźć jego pierwiastki, należy rózwiązać równanie:
[tex](x-2)(x^2-2mx+1-m^2)=0[/tex].
Mamy:
[tex]x-2=0 \quad \vee \quad x^2-2mx+1-m^2=0[/tex].
Z pierwszej równości dostajemy x=2. Jest to pierwszy pierwiastek wielomianu. Dwa pozostałe pierwiastki powinny być wyznaczone z drugiej równości i ich wartość powinna być różna od 2.
Równanie to jest równaniem kwadratowym. Policzymy jego wyróżnik:
[tex]\Delta=(-2m)^2-4*1*(1-m^2)=4m^2-4+4m^2=8m^2-4[/tex].
Aby równanie kwadratowe miało dwa różne pierwiastki, delta powinna być większa od zera. Mamy zatem:
[tex]\Delta > 0\\8m^2-4 > 0/:4\\2m^2-1 > 0/+1\\2m^2 > 1/:2\\m^2 > \frac12/\sqrt{}\\m > \sqrt\frac12} \quad \vee \quad m < -\sqrt{\frac12}\\m > \frac1{\sqrt2} \quad \vee \quad m < -\frac1{\sqrt2}\\m > \frac{\sqrt2}2 \quad \vee \quad m < -\frac{\sqrt2}2\\m\in(-\infty,-\frac{\sqrt2}2)\cup(\frac{\sqrt2}2,+\infty)[/tex]
Z otrzymanego rozwiązania należy jeszcze odrzucić te wartości m, dla których rozwiązania [tex]x_1[/tex] i [tex]x_2[/tex] są równe 2.
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{8m^2-4}=\sqrt{4(2m^2-1)}=2\sqrt{2m^2-1}\\\\x_1=\frac{2m-2\sqrt{2m^2-1}}2=m-\sqrt{2m^2-1}\\m-\sqrt{2m^2-1}=2/+\sqrt{2m^2-1}\\m=\sqrt{2m^2-1}+2/-2\\\sqrt{2m^2-1}=m-2/^2\\2m^2-1=m^2-4m+4/-(m^2-4m+4)\\m^2+4m-5=0\\\Delta_1=4^2-4*1*(-5)=16+20=36,\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{36}=6\\m_1=\frac{-4-6}2=\frac{-10}2=-5\\m_2=\frac{-4+6}2=\frac22=1[/tex]
[tex]x_2=\frac{2m+2\sqrt{2m^2-1}}2=m+\sqrt{2m^2-1}\\m+\sqrt{2m^2-1}=2/-m\\\sqrt{2m^2-1}=2-m/^2\\2m^2-1=4-4m+m^2/-(m^2-4m+4)\\m^2+4m-5=0 - \text{rownanie takie samo jak powyzej, roziwazanie identyczne}\\m_3=-5\\m_4=1[/tex]
Zatem pierwiastki równania kwadratowego są równe 2 dla [tex]m\in\{-5,1\}[/tex]. Należy odrzucić je ze zbioru wartości m otrzymanego wcześniej. Ostatecznie mamy - wielomian w(x) ma trzy różne pierwiastki dla
[tex]m\in(-\infty,-5)\cup(-5,-\frac{\sqrt2}2)\cup(\frac{\sqrt2}2,1)\cup(1,+\infty)[/tex].