1. H = 2√23 cm
2. krawędź boczna = 2√13 cm
3. [tex]P_c=12(2\sqrt{3} +\sqrt{21})[/tex] cm²
4. [tex]V=\frac{64}{13}\sqrt{17}[/tex] cm³
[tex]P_c=16(\sqrt{33}+4)[/tex] cm²
5. [tex]V=32(1+\frac{\sqrt{7} }{3}) cm^3[/tex]
Rysunki pomocnicze znajdują się w załącznikach.
Aby obliczyć wysokość H ostrosłupa, musimy wyliczyć długość połowy przekątnej podstawy, czyli kwadratu. Przekątna kwadratu jest dana wzorem:
[tex]a\sqrt{2}[/tex]
gdzie:
a - bok kwadratu
A więc połowa przekątnej to:
[tex]\frac{a\sqrt{2} }{2}[/tex]
Podstawmy w miejsce "a" nasz bok kwadratu czyli 4:
[tex]\frac{a\sqrt{2} }{2}=\frac{4\sqrt{2} }{2}=2\sqrt{2}[/tex]
Spójrzmy na rysunek. Widzimy na nim tworzący się trójkąt prostokątny SPC, z którego obliczymy wysokość ostrosłupa H:
H² + (2√2)² = 10²
H² + 8 = 100
H² = 92
H = 2 √23
Długość wysokości tego ostrosłupa wynosi 2√23 cm.
Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1. To oznacza, że odcinek CP to [tex]\frac23[/tex] wysokości tego trójkąta. Obliczmy najpierw wysokość podstawy tego ostrosłupa. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 3. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2} \\h=\frac{3\sqrt{3} }{2}[/tex]
Obliczmy długość CP, wiedząc, że jest ona równa [tex]\frac23[/tex] wysokości:
[tex]\frac{3\sqrt{3} }{2}*\frac23=\sqrt{3}[/tex]
Spójrzmy na trójkąt SCP. jest to trójkąt prostokątny, z którego obliczymy krawędź boczną SC tego ostrosłupa stosując twierdzenie Pitagorasa:
[tex]7^2+(\sqrt{3})^2 =c^2\\49+3=c^2\\c^2=52\\c=2\sqrt{13}[/tex]
Krawędź ostrosłupa ma długość 2√13 cm.
Obliczając długość PC sześciokąta foremnego będziemy w stanie obliczyć pole sześciokąta foremnego ze wzoru:
[tex]P=\frac{3a^2\sqrt{3} }{2}[/tex]
Sześciokąt foremny składa się z trójkątów równobocznych, a więc długość odcinka PC to jeden z boków trójkąta równobocznego. Spójrzmy na rysunek. Aby policzyć długość PC skorzystamy z trójkąta prostokątnego SPC, stosując twierdzenie Pitagorasa:
| SP |² + | PC |² = | SC |²
3² + | PC |² = 5²
9 + | PC |² = 25
| PC |² = 16
| PC | = 4
Wiemy już, że bok PC jak i krawędzie sześciokąta foremnego mają długość 4. Obliczmy pole tego sześciokąta foremnego:
[tex]P=\frac{3a^2\sqrt{3} }{2}\\P=\frac{3*4^2\sqrt{3} }{2}\\P=\frac{3*16\sqrt{3} }{2}\\P=24\sqrt{3}[/tex]
Pole sześciokąta foremnego, czyli pole podstawy to 24√3 cm².
Do pola powierzchni całkowitej brakuje nam doliczenie pól ścian bocznych, którymi jest sześć trójkątów o podstawie równej 4. Musimy wyliczyć wysokość tych trójkątów. Skorzystamy tu znowu z twierdzenia Pitagorasa. Wysokość trójkąta ABS obliczymy, podstawiając boki do twierdzenia Pitagorasa. Bok PF to wysokość trójkąta równobocznego o boku 4. Policzmy tę wysokość:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2} \\h=\frac{4\sqrt{3} }{2}\\h=2\sqrt3[/tex]
Nasz bok PF ma długość 2√3. Podstawmy długości boków aby obliczyć wysokość trójkąta:
| SP |² + | PF |² = | SF |²
3² + (2√3)² = | SF |²
9 + 12 = | SF |²
| SF |² = 21
| SF | = √21
Wiedząc, że wysokość trójkąta to √21 a podstawa ma długość 4, wyliczmy pole tego trójkąta:
[tex]P=\frac{a*h}{2}\\ P=\frac{4*\sqrt{21} }{2}\\ P=2\sqrt{21}[/tex]
Pole jednego trójkąta to 2√21 cm². Ten ostrosłup tworzy 6 takich trójkątów, które są ścianami bocznymi. Pole tych 6 trójkątów to:
6 × 2√21 = 12√21 cm²
Aby policzyć pole całkowite dodajmy do siebie pole podstawy oraz pole 6 trójkątów:
Pc = Pp + Pb
Pc = 24√3 cm² + 12√21 cm²
Pc = 12 (2√3 + √21) cm²
Pole całkowite tego ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 12 (2√3 + √21) cm².
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat o boku 8. Spójrzmy na rysunek. Przekątna tego kwadratu to 8√2, a połowa przekątnej czyli bok PB ma długość 4√2. Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SPB:
H² + (4√2)² = 7²
H² + 32 = 49
H² = 17
H = √17
Możemy już obliczyć objętość tego ostrosłupa. Pole podstawy to pole kwadratu o boku 8:
[tex]V=\frac13P_p*H\\V=\frac13*(8*8)*\sqrt{17} \\V=\frac13*64\sqrt{17} \\V=\frac{64\sqrt{17} }{3}[/tex]
Objętość tego ostrosłupa to [tex]\frac{64\sqrt{17} }{3}[/tex] cm³.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej, musimy obliczyć pole ścian bocznych, które są czteroma trójkątami. Musimy wyznaczyć wysokości tych trójkątów. Aby to zrobić skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SPE:
(√17)² + 4² = h²
17 + 16 = h²
h² = 33
h = √33
Znając podstawę trójkąta równą 8 i wysokość równą √33 policzmy jego pole:
[tex]P=\frac{a*h}{2} \\P=\frac{8*\sqrt{33} }{2} \\P=4\sqrt{33}[/tex]
Ściany boczne tworzą cztery takie trójkąty. Policzmy ich pole razem:
Pb = 4 × 4√33 = 16√33
Dodajmy do siebie pole podstawy oraz pole ścian bocznych aby uzyskać pole całkowite:
Pc = Pp + Pb
Pc = 64 + 16√33
Pc = 16 (4 + √33) cm²
Pole całkowite tego ostrosłupa wynosi 16 (4 + √33) cm².
Aby obliczyć objętość tej bryły policzmy oddzielnie objętość graniastosłupa i stożka.
Spójrzmy na rysunek. Objętość graniastosłupa liczymy ze wzoru:
[tex]V=P_p*H[/tex]
U nas pole podstawy to kwadrat o boku 4 cm. Natomiast wysokość to bok o boku 2 cm. Podstawmy te dane do wzoru:
[tex]V=P_p*H\\V=4*4*2\\V=32[/tex]
Objętość graniastosłupa wynosi 32 cm³.
Aby obliczyć objętość stożka musimy znać jego wysokość. Obliczymy ją, stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SPG. Zauważmy, że długość odcinka PG to połowa przekątnej kwadratu o boku 4, czyli 2√2:
H² + (2√2)² = 6²
H² + 8 = 36
H² = 28
H = 2√7
Znając wysokość stożka obliczmy jego objętość:
[tex]V=\frac13*P_p*H\\V=\frac13*16*2\sqrt{7} \\V=\frac{32\sqrt{7} }{3}[/tex]
Objętość stożka wynosi [tex]\frac{32\sqrt{7} }{3}[/tex] cm³.
Dodając do siebie objętości stożka oraz graniastosłupa otrzymamy objętość całej bryły:
[tex]V=\frac{32\sqrt{7} }{3}+32\\V=32(1+\frac{\sqrt{7} }{3})[/tex]
Objętość tej bryły to [tex]32(1+\frac{\sqrt{7} }{3})[/tex] cm³.
