Funkcje trygonometryczne kąta ostrego.
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5}}\\\boxed{\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}}\\\boxed{\text{tg}\alpha=2}\\\boxed{\text{ctg}\alpha=\dfrac{1}{2}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Definicje funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym (załącznik).
Dana jest wartość funkcji tangens kąta α:
[tex]\text{tg}\alpha=2\to\dfrac{a}{b}=2\\\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{1}\to a=2,\ b=1[/tex]
Możemy przyjąć przyprostokątne długości 1 i 2. Kreślimy odpowiedni trójkąt prostokątny.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej:
a² + b² = c²
Podstawiamy:
[tex]c^2=2^2+1^2\\\\c^2=4+1\\\\c=5\to\boxed{c=\sqrt5}[/tex]
Obliczamy wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych:
[tex]\sin\alpha=\dfrac{a}{c}\to\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}\\\\\boxed{\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt5}{5}}\\\\\cos\alpha=\dfrac{b}{c}\to\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}\\\\\boxed{\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}}\\\\\text{ctg}\alpha=\dfrac{b}{a}\to\boxed{\text{ctg}\alpha=\dfrac{1}{2}}[/tex]
