Odpowiedź :
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi [tex]54(\sqrt{3}+\sqrt{15})[/tex].
Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
Aby obliczyć pole ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego należy skorzystać ze wzoru:
[tex]P_{calkowite} =P_{podstawy} + P_{boczne}[/tex]
gdzie:
[tex]P_{podstawy}[/tex] - to pole podstawy ostrosłupa, czyli pole sześciokąta,
[tex]P_{boczne}[/tex] - to pole boczne ostrosłupa.
Nasz ostrosłup jest prawidłowy oznacza to, że w podstawie ma on wielokąt foremny (u nas jest to sześciokąt) oraz jego ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Zacznijmy od narysowania odpowiedniego rysunku, który znajduje się na zdjęciu poniżej. Narysujmy schemat ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego. Nazwijmy każdy z jego wierzchołków. Z zadania wiemy, że krawędzie podstawy mają długość 6, natomiast krawędzie boczne 12, to także zaznaczmy na schemacie.
W podstawie mamy sześciokąt foremny. Poprowadźmy jego przekątne, które utworzą nam sześć jednakowych trójkątów równobocznych o boku 6. Ten zabieg pomoże nam w obliczeniu pola podstawy, które teraz ogranicza się do policzenia pola jednego z trójkątów równobocznych o boku 6 i przemnożenia go przez liczbę trójkątów równobocznych, czyli przez 6.
Wzór na pole trójkąta równobocznego wygląda następująco:
[tex]P_{trojkata...rownobocznego}=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}[/tex]
Wiemy, że bok trójkąta jest równy 6 (a=6), zatem pole jednego trójkąta jest równe:
[tex]P_{trojkata...rownobocznego}=\frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}=\frac{6^{2} \sqrt{3} }{4}=\frac{36\sqrt{3} }{4}=9\sqrt{3}[/tex]
Więc pole postawy jest równe:
[tex]P_{podstawy}=6*P_{trojkata...rownobocznego}=6*9\sqrt{3} =54\sqrt{3}[/tex]
Przejdźmy teraz do obliczania pola bocznego. Jak ustaliliśmy składa się ono z sześciu pól trójkątów równoramiennych. Zaznaczmy sobie na naszym schemacie na jednym z krawędzi podstawy, np. na krawędzi CD, punkt K dokładnie w połowie długości krawędzi. Poprowadzimy dzięki temu wysokość h, jako odcinek GK. Utworzyliśmy w ten sposób fioletowy trójkąt GKD. Do dalszego obliczania pola powierzchni bocznej, potrzebna nam będzie wysokość h. Obliczymy ją z Twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta GKD.
Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach a, b oraz c opisuje równanie:
a² + b² = c²
gdzie:
a, b - przyprostokątne,
c - przeciwprostokątna.
Więc dla naszego trójkąta GKD mamy takie boki:
- a = h (tego szukamy),
- b = 3 (bo to połowa krawędzi podstawy),
- c = 12 (bo przeciwprostokątną jest tutaj krawędź boczna).
Podstawiając więc do Twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
[tex]h^{2} +3^{2} =12^{2} \\\\h^{2} +9=144/-9\\\\h^{2} =135\\\\h=3\sqrt{15}[/tex]
Mamy już wysokość trójkąta równoramiennego h oraz podstawę tegoż trójkąta a, więc jego pole możemy obliczyć ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P_{trojkata} =\frac{1}{2}*a*h[/tex]
Podstawiając dane mamy:
[tex]P_{trojkata} =\frac{1}{2}*6*3\sqrt{15}=9\sqrt{15}[/tex]
Wiemy, że jest to jeden z sześciu trójkątów równoramiennych, które składają się na pole boczne naszego ostrosłupa, więc pole boczne obliczymy ze wzoru:
[tex]P_{boczne}=6*P_{trojkata}[/tex]
Podstawiając dane mamy:
[tex]P_{boczne}=6*9\sqrt{15} = 54\sqrt{15}[/tex]
Mamy już obliczone pole podstawy i pole boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite powierzchni naszego ostrosłupa, które będzie prezentowało się następująco:
[tex]P_{calkowite} =P_{podstawy} + P_{boczne}=54\sqrt{3}+54\sqrt{15}=54(\sqrt{3}+\sqrt{15})[/tex]
Wniosek: Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi: [tex]54(\sqrt{3}+\sqrt{15})[/tex].
