Odpowiedź :
Zawodni powinien oddać przynajmniej 4 strzały, aby prawdopodobieństwo trafienia co najmniej jeden raz do tarczy było większe od 0,936.
Prawdopodobieństwo w jednym strzale
Z treści wiemy, że prawdopodobieństwo trafienia w pojedynczym strzale to :
[tex]P(A)=0,6[/tex]
Z własności prawdopodobieństwa:
[tex]P(A)=1-P(A')[/tex]
możemy wywnioskować, że prawdopodobieństwo nie trafienia w pojedynczym strzale wynosi więc:
[tex]P(A')=0,4\\[/tex]
Prawdopodobieństwo trafienia w x strzałach
Pytanie jest o zdarzenie, takie, że zawodnik trafi co najmniej raz z prawdopodobieństwem większym niż 0,936 w nieznanej liczbie strzałów, oznaczmy tą liczbę jako x, a całe zdarzenie jako B:
B - zawodnik trafi co najmniej raz w x strzałach z prawdopodobieństwem większym niż 0,936
Zdarzeniem przeciwnym jest zatem:
B′ - w x strzałach zawodnik nie trafi ani razu
Obliczmy więc prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Musimy pomnożyć prawdopodobieństwo nietrafienia w tarczę tyle razy ile jest strzałów, czyli x. Najłatwiej to przedstawić za pomocą potęgowania:
[tex]P(B')=(P(A'))^x=(0,4)^x[/tex]
Ponownie korzystając więc z własności prawdopodobieństwa przedstawionej wcześniej, obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:
[tex]P(B)=1-P(B')\\P(B)=1-(0,4)^x[/tex]
Ilość strzałów
Wiemy, że prawdopodobieństwo to ma być większe niż 0,936. Układamy więc nierówność:
[tex]1-(0,4)^x > 0,936\\-(0,4)^x > -0,064\\(0,4)^x < 0,064\\(0,4)^x < (0,4)^3\\[/tex]
Z różnowartościowości funkcji wykładniczej, mając tą samą podstawę, możemy porównać potęgi. W podstawie mamy ułamek mniejszy od 1, więc funkcja jest malejąca. Zatem mniejsza będzie liczba z większą potęgą, a więc:
[tex]x > 3[/tex]
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą te równanie jest x=4.
Wniosek: Zawodnik musi wykonać co najmniej 4 strzały, aby prawdopodobieństwo trafienia co najmniej jeden raz do tarczy było większe od 0,936.