Odpowiedź:
Obliczenia:
[tex]Dane:\\T = 365 \ dni = 365\cdot24\cdot3600 \ s = 31 \ 536 \ 000 \ \approx 3,15\cdot10^{7} \ s\\R = 1 \ AU=1,495979 \ m\cdot10^{11} \approx1,5\cdot10^{11} \ m\\G = 6,67\cdot10^{-11}\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}}\\Szukane:\\M_{s} = ?[/tex]
Rozwiązanie
Porównujemy siły działające na ciało poruszające się wokół Słońca
[tex]F_{d} = F_{g}\\\\\frac{mv^{2}}{R} = \frac{GM_{s}{m}}{R^{2}}} \ \ \ |\cdot\frac{R^{2}}{Gm}\\\\M_{s} = \frac{v^{2}R}{G}\\\\ale\\\\v = \frac{2 \pi R}{T} \ \ \rightarrow \ v^{2} = \frac{4\pi^{2} R^{2}}{T^{2}}\\\\M_{s} = \frac{4\pi ^{2} R^{2}}{T^{2}}\cdot\frac{R}{G}\\\\M_{s} = \frac{4\pi^{2} R^{3}}{T^{2}G}[/tex]
Wyliczamy jednostkę masy
[tex][m = \frac{m^{3}}{s^{2}\cdot\frac{N\cdot m^{2}}{kg^{2}}} = \frac{m^{3}\cdot kg^{2}}{s^{2}\cdot N\cdot m^{2}} = \frac{m\cdot kg^{2}}{s^{2}\cdot kg\cdot\frac{m}{s^{2}}} = kg][/tex]
[tex]M_{s} = \frac{4\cdot3,14^{2}\cdot(1,5\cdot10^{11})^{3}}{(3,15\cdot10^{7})^{2}\cdot6,67\cdot10^{-11}}=\frac{133,1\cdot10^{33}}{66,18\cdot10^{14}\cdot10^{-11}}\\\\\boxed{M_{s}\approx2\cdot10^{30} \ kg}[/tex]
