Odpowiedź :
a) Funkcję pola takiego trójkąta możemy zapisać jako [tex]P(x)=-\frac12x^2+8x[/tex]. Jej dziedzina to [tex]x\in(0,16)[/tex].
b) Pole trójkąta dla x=10 wynosi 30.
c) Pole trójkąta wynosi 14 dla [tex]x\in\{2,14\}[/tex].
d) Funkcja osiąga największą wartość dla x=8.
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], gdzie a, b, c to współczynniki oraz [tex]a\neq0[/tex]. Wykresem funkcji jest parabola. Jej wierzchołek oznaczamy jako [tex]W(p,q)[/tex], gdzie [tex]p=-\frac{b}{2a},q=\frac{\Delta}{4a},\Delta=b^2-4ac[/tex].
Jeśli a>0, to parabola ma ramiona skierowane w górę i najmniejszą wartość osiąga w wierzchołku.
Jeśli a<0, to parabola ma ramiona skierowane w dół i największą wartość osiąga w wierzchołku.
Miejsca zerowe funkcji możemy wyznaczyć ze wzorów (jeśli [tex]\Delta > 0[/tex]):
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Wzory te wykorzystujemy też przy obliczaniu rozwiązań równań kwadratowych.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne, gdzie suma długości przyprostokątnych x i y wynosi 16. Mamy zatem [tex]x+y=16[/tex].
a) Pole trójkąta przy przyjętych oznaczeniach możemy zapisać jako [tex]P=\frac12xy[/tex]. Z równości [tex]x+y=16[/tex] wyznaczymy y. Mamy: [tex]y=16-x[/tex]. Możemy teraz zapisać pole trójkąta jako funkcję zmiennej x:
[tex]P(x)=\frac12x(16-x)=-\frac12x^2+\frac12*16x=-\frac12x^2+8x[/tex].
Zmienna x powinna spełniać nierówności: [tex]x > 0[/tex] oraz [tex]y > 0= > 16-x > 0= > 16 > x[/tex]. Zatem dziedzina funkcji to [tex]x\in(0,16)[/tex].
b) Pole trójkąta dla x=10 wynosi
[tex]P(10)=-\frac12*10^2+8*10=-\frac12*100+80=-50+80=30[/tex].
c) Pole trójkąta dla pewnego x wynosi 14, mamy zatem [tex]P(x)=-\frac12x^2+8x=14[/tex]. Znajdziemy tę wartość x, rozwiązując równanie [tex]-\frac12x^2+8x=14[/tex]. Mamy:
[tex]-\frac12x^2+8x=14/-14\\-\frac12x^2+8x-14=0\\\Delta=8^2-4*(-\frac12)*(-14)=64-28=36,\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\\x_1=\frac{-8-6}{2*(-\frac12)}=\frac{-14}{-1}=14\in(0,16)\\x_2=\frac{-8+6}{2*(-\frac12)}=\frac{-2}{-1}=2\in(0,16)[/tex]
Pole trójkąta wynosi 14 dla [tex]x\in\{2,14\}[/tex].
d) W funkcji P(x) mamy [tex]a=-\frac12 < 0[/tex], zatem jest skierowana ramionami do dołu, a największą wartość powinna przyjmować w wierzchołku W(p,q). Sprawdzimy, czy [tex]p\in(0,16)[/tex].
[tex]p=\frac{-8}{2*(-\frac12)}=\frac{=8}{-1}=8\in(0,16)[/tex]
Zatem funkcja P(x) osiąga największą wartość w wierzchołku.