Funkcja kwadratowa.
Odp: [tex]\huge\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{2}{5}x+\dfrac{24}{5}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Postać ogólna funkcji kwadratowej:
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Dane mamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej: -4 i 6. Możemy podstawić je do postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Podstawiamy:
[tex]f(x)=a(x-(-4))(x-6)=a(x+4)(x-6)[/tex]
Wiemy, że największa wartość punkcji wynosi 5 - jest to rzędna wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.
Odcięta znajduje się w środku między miejscami zerowymi. Obliczmy ją używając średniej arytmetycznej:
[tex]p=\dfrac{x_1+x_2}{2}\to p=\dfrac{-4+6}{2}=1[/tex]
Otrzymujemy współrzędne wierzchołka:
[tex]W(1,\ 5)[/tex]
Współrzędne wierzchołka muszą spełniać wzór funkcji. Podstawiamy:
[tex]a(1+4)(1-6)=5\\\\a\cdot5\cdot(-5)=5\\\\-25a=5\qquad|:(-25)\\\\\boxed{a=-\dfrac{1}{5}}[/tex]
Podstawiamy do postaci iloczynowej i przekształcamy do postaci ogólnej:
[tex]f(x)=-\dfrac{1}{5}(x+4)(x-6)\\\\f(x)=-\dfrac{1}{5}(x^2-2x-24)\\\\\huge\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{2}{5}x+\dfrac{24}{5}}[/tex]
