Jeżeli dane punkty mają leżeć w tej samej odległości od końców odcinka XY, to muszą one leżeć na symetralnej tego odcinka.
Symetralna odcinka, to prosta prostopadła do odcinka dzieląca go na pół.
Równanie prostej w postaci kierunkowej:
[tex]y=ax+b[/tex]
[tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy
[tex]b[/tex] - wyraz wolny (miejsce przecięcia prostej z osią OY)
Proste prostopadłe:
Niech
[tex]k:y=a_1x+b_1,\ l:y=a_2x+b_2[/tex]
wówczas
[tex]k\ \perp\ l\iff a_1a_2=-1[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej XY:
[tex]X(4,\ 2),\ Y(8,\ 0)\\\\a_1=\dfrac{0-2}{8-4}=\dfrac{-2}{4}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}[/tex]
Obliczamy współczynnik kierunkowy symetralnej:
[tex]-\dfrac{1}{2}a_2=-1\qquad|\cdot(-2)\\\\\boxed{a_2=2}[/tex]
Mamy wstępną postać równania symetralnej:
[tex]y=2x+b[/tex]
Środek odcinka:
[tex]S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
Obliczamy środek odcinka XY:
[tex]S_{XY}\left(\dfrac{4+8}{2},\ \dfrac{2+0}{2}\right)\\\\\boxed{S_{XY}(6,\ 1)}[/tex]
Symetralna przechodzi przez ten punkt. W związku z tym współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie prostej.
Podstawiamy współrzędne punktu [tex]S_{XY}[/tex] do równania prostej (symetralnej):
[tex]y=2x+b,\ S_{AX}(6,\ 1)\\\\1=2\cdot6+b\\1=12+b\qquad|-12\\\boxed{b=-11}[/tex]
Stąd mamy:
[tex]\boxed{y=2x-11}[/tex]
Jeżeli punkty A, B, C, D i E mają leżeć na symetralnej, to muszą spełniać jej równanie:
[tex]y=2x-11\\\\A(6,\ 1)\\P=2\cdot6-11=12-11=1\\L=1\\L=P[/tex]
Czyli punkt A leży w równej odległości od końców odcinka XY.
[tex]B(5,\ 1)\\P=2\cdot5-11=10-11=-1\\L=1\\P\neq L[/tex]
Czyli punkt B nie leży w równej odległości od końców odcinka XY.
[tex]C(7,\ 3)\\P=2\cdot7-11=14-11=3\\L=3\\P=L[/tex]
Czyli punkt C leży w równej odległości od końców odcinka XY.
[tex]D(4,-3)\\P=2\cdot4-11=8-11=-3\\L=-33\\L=P[/tex]
Czyli punkt D leży w równej odległości od końców odcinka XY.
[tex]E(1,-9)\\P=2\cdot(-9)-11=-18-11=-29\\L=-9\\L\neq P[/tex]
Czyli punkt E nie leży w równej odległości od końców odcinka XY.
