Pole tego trójkąta wynosi 42.
Wykres dwóch funkcji znajduje się w załączniku.
Punkty wspólne wykresów
Aby obliczyć punkty wspólne wykresów, należy porównać je ze sobą. Gdy mamy określić punkty wspólne dwóch funkcji takich jak:
y = x² - 6x + 10 oraz y = x + 10
szukamy punktów wspólnych poprzez przyrównanie jednej funkcji do drugiej:
x² - 6x + 10 = x + 10 | -x - 10
x² - 6x + 10 - x - 10 = 0
x² - 7x = 0
x (x - 7) = 0
rozwiązania:
x = 0 i x = 7 - to są na razie tylko współrzędne x-owe, teraz do tych dwóch punktów należy obliczyć współrzędne y-owe, podstawiając współrzędne x do jakiegokolwiek z tych dwóch funkcji.
dla x=0 (podstawiamy 0 za x, w funkcji y = x + 10):
y = 0 + 10
y = 10
Pierwszy wierzchołek trójkąta ma współrzędne A(0,10).
dla x=7 (podstawiamy 7 za x, w funkcji y = x + 10):
y = 7 + 10
y = 17
Drugi wierzchołek trójkąta ma współrzędne B(7,17).
Współrzędne wierzchołka paraboli (p, q)
Wiemy, że trzeci wierzchołek to współrzędne wierzchołka paraboli.
Wzór na współrzędne wierzchołka paraboli W(p, q) jest następujący:
[tex]p=\frac{-b}{2a}[/tex]
Obliczmy deltę(Δ) ze wzoru: b²- 4 × a × c:
Δ = (-6)² - 4 × 1 × 10 = 36 - 40 = - 4
Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka (p):
[tex]p=\frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3[/tex]
Obliczmy drugą współrzędną wierzchołka (q):
[tex]q = \frac{- \Delta}{4a}=\frac{-(-4)}{4} = \frac{4}{4} = 1[/tex]
Więc trzeci wierzchołek trójkąta ma współrzędne C(3,1).
Wzór na pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A, B, C
Wypiszmy wszystkie wierzchołki trójkąta:
A(0,10)
B(7,17)
C(3,1)
Do obliczenia pola trójkąta ABC posłużymy się wzorem na pole trójkąta o wierzchołkach w punktach [tex]A(x_{a},y_{a} ),B(x_{b},y_{b} ),C(x_{c},y_{c} )[/tex]:
[tex]P_{ \Delta ABC}= \frac12|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|[/tex]
Podstawiając do wzoru:
[tex]P_{ \Delta ABC}= \frac12|(7-0)(1-10)-(17-10)(3-0)| = \frac12|(7*(-9))-(7*3)| = \frac12|-63-21| = \frac12|-84| = \frac12 *84 = 42[/tex]
Pole tego trójkąta wynosi 42 j².
