Niech zbiór [tex]A[/tex], to będą liczby podzielne przez 2, a zbiór [tex]B[/tex], to będą liczby podzielne przez 5. Wtedy te dwa zbiory będą mieć część wspólną, czyli liczby podzielne jednocześnie przez 2 i przez 5.
Żeby obliczyć ile jest liczb podzielnych przez 2 lub 5 użyjemy wzoru:
[tex]|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|[/tex]
Następnie obliczymy zbiór przeciwny, czyli [tex]|(A\cup B)'|=|\Omega|-|A\cup B|[/tex].
Zbiór [tex]\Omega[/tex], to będą liczby większe od 30 i mniejsze od 120.
Rozwiązanie:
Wzór na ilość liczb z przedziału [tex]\langle a,b\rangle[/tex], to [tex]b-a+1[/tex].
Ilość liczb większych od 30 i mniejszych od 120:
[tex]a=31\\b=119[/tex]
[tex]|\Omega|=119-31+1=89[/tex]
Wzór na ilość liczb z przedziału [tex]\langle a,b\rangle[/tex] podzielnych przez [tex]p[/tex], to [tex]\frac{p_n-p_1}{p}+1[/tex].
[tex]p_1[/tex] - pierwsza liczba podzielna przez [tex]p[/tex]
[tex]p_n[/tex] - ostatnia liczba podzielna przez [tex]p[/tex]
Ilość liczb podzielnych przez 2:
[tex]p_1=32\\p_n=118\\p=2[/tex]
[tex]|A|=\dfrac{118-32}{2}+1=\dfrac{86}{2}+1=43+1=44[/tex]
Ilość liczb podzielnych przez 5:
[tex]p_1=35\\p_n=115\\p=5[/tex]
[tex]|B|=\dfrac{115-35}{5}+1=\dfrac{80}{5}+1=16+1=17[/tex]
Ilość liczb podzielnych przez 2 i 5, czyli przez 10:
[tex]p_1=40\\p_n=110\\p=10[/tex]
[tex]|A\cap B|=\dfrac{110-40}{10}+1=\dfrac{70}{10}+1=7+1=8[/tex]
Ilość liczb podzielnych przez 2 lub 5:
[tex]|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|[/tex]
[tex]|A\cup B|=44+17-8=53[/tex]
Ilość liczb, które nie dzielą się przez 2 ani przez 5:
[tex]|(A\cup B)'|=|\Omega|-|A\cup B|[/tex]
[tex]|(A\cup B)'|=89-53=36[/tex]
Odpowiedź:
Takich liczb jest 36.
