Rozwiązane

Dana jest prosta k: y – 3x = 4. Wskaż prostą, która jest prostopadła do prostej k i przechodzi przez punkt p(1, –2). A. –3x y = 2 b. Y = − 1 x 3 1 c. 3y x 5 = 0 d. X = 1.

Odpowiedź :

Unicorn05viz

Odpowiedzi zapisałaś bez sensu, ale możemy wyznaczyć

równanie prostej, która jest prostopadła do prostej k i przechodzi przez punkt P(1, -2)

Jeżeli dana jest prosta w postaci ogólnej:  

Ax + By  + C₀ = 0

to prosta do niej prostopadła ma równanie:

Bx - Ay + C = 0

Mamy prostą k:   y - 3x = 4

czyli:                 -3x + y - 4 = 0       w postaci ogólnej

Stąd:   A = -3,   B = 1

Zatem prosta prostopadła do k ma równanie:

x + 3y + C = 0

Skoro ta prosta przechodzi przez punkt P(1, -2), to jego współrzędne spełniają równanie prostej, czyli:

1 + 3·(-2) + C = 0

1 - 6 + C = 0

-5 + C = 0

C = 5

Czyli równanie szukanej prostej w postaci ogólnej to:

x + 3y + 5 = 0

Jeśli chodzi o dopasowanie równania tej prostej do podanych odpowiedzi (zakładając, że pogubiłaś znaki +/-, bo inaczej to nie są równania prostych) to:

  • w takiej postaci, jak w odp. A:  x + 3y = -5  (lub -x - 3y = 5)
  • po przekształceniu do postaci kierunkowej (jak w odp. B) otrzymamy:

        x + 3y + 5 = 0    ⇒    3y = -x - 5    ⇒    y = -¹/₃x - 5

  • jeżeli odpowiedź C. to 3y + x + 5 = 0 to jest to prawidłowa odpowiedź (bo dodawanie jest przemienne)
  • natomiast prosta o równaniu x = 1 jest prostopadła wyłącznie do prostej o równaniu y = b, gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą (żadnego x w równaniu prostej), więc nie może być prostopadła do prostej k

Viz Inne Pytanie