Odpowiedź :
Takich liczb jest 203125.
Kombinatoryka
Kombinatoryka jest działem matematyk, który zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów pewnych zbiorów zgodnie z podanym zasadami. Zatem pomaga nam w odpowiedz na pytania typu: "Ile jest możliwych wyników w rzucie kostką?", "Na ile sposobów możemy utworzyć słowo z liter A, B, C, D?"
W wielu zadaniach z tego działu można korzystać z reguły mnożenia. Aby uzyskać ilość szukanych kombinacji, mnoży się przez siebie ilość elementów, które możemy wstawić w dane miejsce ciągu.
Wyznaczymy, ile jest sześciocyfrowych liczb naturalnych (czyli rozpatrujemy liczby całkowite dodatnie), które mają cztery cyfry parzyste dwie nieparzyste.
Wprowadźmy oznaczenia: N - na danym miejscu liczby jest cyfra nieparzysta, P - na danym miejscu jest cyfra parzysta.
Mamy cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli 5 parzystych i 5 nieparzystych.
Rozpatrzmy liczbę postaci NNPPPP. Na pierwsze miejsce możemy wybrać cyfrę na 5 sposobów, na drugie - na 5 sposobów, na trzecie - na 5 sposobów, na czwarte - na 5 sposobów, na piąte - na 5 sposobów, na szóste - na 5 sposobów. Czyli liczbę sześciocyfrową z pierwszą i drugą cyfrą nieparzystą możemy stworzyć na [tex]5*5*5*5*5*5=12625[/tex] sposobów (liczymy regułą mnożenia).
Każdą liczbę sześciocyfrową z pierwszą cyfrą nieparzystą możemy stworzyć na tyle samo sposobów, co powyżej. Czyli liczby postaci NPNPPP, NPPNPP, NPPPNP, NPPPPN też możemy stworzyć na 12625. Mamy zatem 5 możliwości utworzenia liczby sześciocyfrowej z dwiema cyframi nieparzystymi i czterema nieparzystymi, możemy to zrobić na [tex]5*12625=78125[/tex] sposobów.
Rozpatrzymy teraz liczby z cyfrą parzystą na początku. Weźmy najpierw pod uwagę liczbę PNNPPP. Na pierwsze miejsce możemy wybrać cyfrę na 4 sposoby (0 nie może stać na początku liczby), na drugie - na 5 sposobów, na trzecie - na 5 sposobów, na czwarte - na 5 sposobów, na piąte - na 5 sposobów, na szóste - na 5 sposobów. Czyli możliwości utworzenia takiej liczby jest [tex]4*5*5*5*5*5=12500[/tex].
Liczby postaci PNPNPP, PNPPNP, PNPPPN, PPNNPP, PPNPNP, PPNPPN, PPPNNP, PPPNPN, PPPPNN możemy również utworzyć na 12500 sposobów. Mamy 10 możliwości utworzenia liczby sześciocyfrowej z pierwszą liczbą parzystą opisanych powyżej, możemy to zrobić na [tex]10*12500=125000[/tex] sposobów.
Podsumowując, sześciocyfrowych liczb naturalnych, które mają cztery cyfry parzyste i dwie nieparzyste, jest [tex]78125+125000=203125[/tex].