Rozwiązane

1. 150. Pani Teresa Kowalska postanowiła ulokować na rok swoje oszczędności
w jednym z dwóch różnych banków. W banku A oprocentowanie roczne wynosi 4%,
odsetki kapitalizowane są co kwartał. W banku B oprocentowanie roczne wyno-
si 5%, z roczną kapitalizacją odsetek. Który z banków powinna wybrać pani Teresa
Kowalska chcąc uzyskać większe odsetki? Odpowiedź uzasadnij. ​.

Odpowiedź :

Pani Teresa Kowalska powinna wybrać bank B, jeśli chce uzyskać większe odsetki.

Kapitalizacja odsetek

Wartość kapitału ulokowanego na lokacie po n latach możemy obliczać ze wzoru:

[tex]K_n=K_0*(1+\frac{r}{100*k})^{n*k}[/tex],

gdzie:

  • [tex]K_n[/tex] - wartość kapitału po n latach od ulokowania na lokacie, czyli kapitał początkowy z odsetkami;
  • [tex]K_0[/tex] - wartość kapitału początkowego;
  • [tex]r[/tex] - oprocentowanie lokaty w skali roku;
  • [tex]n[/tex] - ilość lat trwania lokaty;
  • [tex]k[/tex] - ilość kapitalizacji odsetek w ciągu roku.

Załóżmy, że pani Teresa chce ulokować w banku kapitał o wartości [tex]K_0[/tex]. Wyliczymy wartość kapitału, jaki dostałaby po roku trwania lokaty w obu bankach.

Bank A:

Mamy:

  • [tex]K_0[/tex],
  • [tex]n=1[/tex],
  • [tex]r=4[/tex],
  • [tex]k=4[/tex] (kapitalizacja odsetek jest co kwartał, czyli w ciągu roku odsetki doliczane są cztery razy).

Podstawmy te dane do wzoru:

[tex]K_{nA}=K_0*(1+\frac4{100*4})^{1*4}=K_0*(1+\frac1{100})^4=K_0*1,01^4=1,04060401K_0[/tex]

Bank B:

Mamy:

  • [tex]K_0[/tex],
  • [tex]n=1[/tex],
  • [tex]r=5[/tex],
  • [tex]k=1[/tex] (kapitalizacja odsetek jest co roku, czyli w ciągu roku odsetki doliczane są raz).

Podstawmy te dane do wzoru:

[tex]K_{nB}=K_0*(1+\frac5{100*1})^{1*1}=K_0*(1+\frac5{100})^1=K_0*1,05=1,05K_0[/tex]

Porównajmy teraz wartości kapitału, jakie otrzymałaby pani Teresa po roku z obu banków. Mamy:

[tex]1,05K_0 > 1,04060401K_0\\K_{nB} > K_{nA}[/tex]

Zatem aby uzyskać większe odsetki, pani Teresa Kowalska powinna wybrać bank B.