Planimetria. Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny.
Pierścień kołowy ograniczony okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym i okręgiem w niego wpisanym ma pole równe 16π. Oblicz obwód tego trójkąta.
Odp: L = 24
ROZWIĄZANIE:
Pole koła o promieniu r:
[tex]P=\pi r^2[/tex]
Pole pierścienia kołowego jest równe różnicy pól dużego koła o promieniu R i małego koła o promieniu r:
[tex]P=\pi R^2-\pi r^2=(R^2-r^2)\pi[/tex]
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:
[tex]R=\dfrac{a\sqrt3}{3}[/tex]
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:
[tex]r=\dfrac{a\sqrt3}{6}[/tex]
Pole pierścienia jest dane.
Podstawiamy do wzoru:
[tex]\left[\left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2\right]\pi=16\pi\qquad|:\pi\\\\\dfrac{3a^2}{9}-\dfrac{3a^2}{36}=16\\\\\dfrac{a^2}{3}-\dfrac{a^2}{12}=16\qquad|\cdot12\\\\4a^2-a^2=192\\\\3a^2=192\qquad|:3\\\\a^2=64\to a=\sqrt{64}\\\\\boxed{a=8}[/tex]
Obliczamy obwód trójkąta:
[tex]L=3\cdot8\\\\\huge\boxed{L=24}[/tex]
