Odpowiedź:
Tak, liczba [tex]\sqrt{-4}[/tex] istnieje.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zacznijmy od tego, że pierwiastkowanie liczb ujemnych nie jest możliwe w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej parzystego stopnia. Można natomiast obliczać pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych.
Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej
Pierwiastek stopnia n ma zawsze n różnych wartości ( dla n≠0).
Nie wchodząc za mocno w teorię podam jedynie wprowadzenie.
Liczba będąca wynikiem działania [tex]\sqrt{-4}[/tex] jest liczbą zespoloną. Zgodnie z tym, co napisałem wyżej :
[tex]\sqrt{-4} =-2i[/tex] lub [tex]\sqrt{-4} =2i[/tex]
Warto tutaj zacytować wzór zgodnie z którym :
[tex]\sqrt[n]{z} =\sqrt[n]{p} (cos(\frac{\phi+2k\pi }{n}) +isin(\frac{\phi+2k\pi }{n} ))[/tex]
W powyższym wzorze :
[tex]p=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] - moduł ( wartość bezwzględna). Innymi słowy odległość liczby z od punktu (0,0)
[tex]\phi=arctg\frac{b}{a}[/tex] - argument liczby z
[tex]z=a+bi[/tex] - postać algebraiczna liczby zespolonej
[tex]i^2=-1[/tex] - jednostka urojona
Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych, dla których prawdziwe są powyższe relacje.
Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej
Weźmy na przykład :
[tex]\sqrt[3]{-8} =\sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{8} =-2[/tex]
Zawsze w sytuacji, gdy obliczamy pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej możemy wyłączyć znak przed pierwiastek ( tak jak w ukazanym przykładzie).
