I sposób (porównywanie wielomianów):
Skoro
liczba x = 1 jest dwukrotnym rozwiązaniem wielomianu:
W(x) = x⁴ - 2x³ + ax² + bx + 2
to wielomian możemy zapisać w postaci:
[tex]\bold{W(x)=(x-1)^2(x^2+cx+d)}[/tex]
Przekształcając go na postać wielomianową otrzymamy:
[tex]\bold{W(x)=(x^2-2x+1)(x^2+cx+d)}\\\\ \bold{W(x)=x^4+cx^3+dx^2-2x^3-2cx^2-2dx+x^2+cx+d}\\\\ \bold{W(x)=x^4+(c-2)x^3+(d-2c+1)x^2+(c-2d)x+d}[/tex]
A skoro to ten sam wielomian co W(x) = x⁴ - 2x³ + ax² + bx + 2, to współczynniki przy tych samych potęgach muszą być jednakowe.
Zatem:
c - 2 = -2 ⇒ c = 0
d = 2
a = d - 2c + 1 = 2 - 2·0 + 1 = 3
b = c - 2d = 0 - 2·2 = -4
II sposób (dzielenie wielomianów):
Najłatwiejszym sposobem podzielenia wielomianu przez dwumian x-a jest schemat Hornera
W górnej linii wpisujemy współczynniki wielomianu, w dolnej na początku pierwiastek wielomianu (a), w drugiej kratce spisujemy współczynnik z górnej linii. Kolejne uzupełniamy mnożąc ostatnio spisany współczynnik przez pierwiastek i do wyniku dodając wartość z górnej linii. Otrzymane w dolnej linii liczby (oprócz pierwiastka) to współczynniki szukanego trójmianu.
Wykonując dzielenie wielomianu W(x) = x⁴ - 2x³ + ax² + bx + 2 przez x-1 otrzymamy:
[tex]\underline{\quad |\ 1\ |\, {-}2\ |\quad a\ \ |\quad\ \, b\quad\ \, |\quad 2\quad\ \ |}\\ 1\ \,|\ 1\ |\, {-}1 \ |\,a{-}1\, |\,a{+}b{-}1\, |\,a{+}b{+}1\, |[/tex]
{1·1+(-2)=-1; 1·(-1)+a=a-1; 1·(a-1)+b=a+b-1; 1·(a+b-1)+2=a+b+1}
Skoro wiemy, że wielomian jest podzielny przez x-1, to znaczy, że a+b+1=0 ⇒ b = -a-1
i otrzymaliśmy:
W(x) = (x - 1)(x³ - x² + (a-1) x + a+b-1]
Dzieląc z kolei wielomian x³ - x² + (a-1) x + a+b-1 przez x-1, otrzymamy:
[tex]\underline{\quad |\ 1\ |\, {-}1\ |\,a{-}1\, |\ \,a{+}b{-}1\ |}\\ 1\ \,|\ 1\ |\ \ 0 \ \ |\,a{-}1\, |\,2a{+}b{-}2\, |[/tex]
{1·1+(-1)=0; 1·0+a-1=a-1; 1·(a-1)+a+b-1=2a+b-2}
Czyli: 2a+b-2=0
Podstawiając b=-a-1, mamy:
2a - a - 1 - 2 = 0
a - 3 = 0
a = 3
oraz: b = -3 - 1 = -4
Odp.:
Szukane parametry to: a = 3 i b = -4
