Podobieństwo trójkątów.
1.1 Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A₁B₁C₁ w skali k = 14/9. Stosunek pola trójkąta ABC do pola trójkąta A₁B₁C₁ jest równy:
Odp: 196/81
2.1 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = 24. Oblicz |DE| wiedząc, że stosunek pola powierzchni trójkąta DBE do pola powierzchni czworokąta ADEC wynosi 195 : 645.
Odp: |DE| = 6√182/7
3.1 W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ABC, |AC| = |BC| , wysokość CD przecięła wysokość AE w punkcie S. Wysokość AE dzieli ramię BC tego trójkąta w stosunku |BE| : |EC| = 1 : 3. Oblicz sinus kąta EAB.
Odp: sin∠EAB = √6/6
3.2 Wyznacz stosunek pola powierzchni trójkąta ADC do pola trójkąta CSE.
Odp: 40/27
ROZWIĄZANIA:
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Cecha Bok-Bok-Bok (BBB): jeżeli boki jednego trójkąta tworzą proporcje z odpowiednimi bokami drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
- Cecha Kąt-Kąt-Kąt (KKK): jeżeli kąty jednego trójkąta są tej samej miary co kąty drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
(UWAGA: wystarczą dwa kąty) - Cecha Bok-Kąt-Bok (BKB): jeżeli dwa boki jednego trójkąta tworzą proporcję z bokami drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami są tej samej miary, to takie trójkąty są podobne.
Skalą k podobieństwa nazywamy stosunek odpowiadających sobie boków.
1.1
Twierdzenie:
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
Jeżeli skala podobieństwa ΔABC do ΔA₁B₁C₁ wynosi k = 14/9, to kwadrat tej skali jest równy:
[tex]k^2=\left(\dfrac{14}{9}\right)^2=\dfrac{196}{81}[/tex]
Stąd mamy:
[tex]\huge\boxed{\dfrac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{196}{81}}[/tex]
2.1
Stosunek pola powierzchni trójkąta DBE do pola powierzchni czworokąta ADEC wynosi 195 : 645. Stąd mamy:
[tex]P_{DBE}=195x,\ P_{ADEC}=645x[/tex]
gdzie [tex]x[/tex] jest jakąś jednostką pola.
Stąd możemy obliczyć pole trójkąta ABC:
[tex]P_{ABC}=P_{DBE}+P_{ADEC}\to P_{ABC}=195x+645x=840x[/tex]
Trójkąty ABC i EBD są podobne na podstawie cechy (KKK). W związku z tym odpowiadające sobie boki tworzą proporcję.
Obliczmy na początku skalę podobieństwa korzystając z pól:
[tex]\dfrac{P_{DBE}}{P_{ABC}}=k^2\\\\k^2=\dfrac{195x}{840x}\\\\k^2=\dfrac{195}{840}\\\\k^2=\dfrac{13}{56}\to k=\sqrt{\dfrac{13}{56}}[/tex]
W trójkątach DBE i ABC odpowiadające sobie boki, to:
[tex]AB\to EB,\ BC\to CB,\ AC\to DE[/tex]
Stąd mamy:
[tex]\dfrac{|DE|}{|AC|}=k\to\dfrac{|DE|}{24}=\sqrt{\dfrac{13}{56}}\qquad|\cdot24\\\\|DE|=\dfrac{24\sqrt{13}}{\sqrt{56}}\\\\|DE|=\dfrac{24\sqrt{13}}{\sqrt{4\cdot14}}\\\\|DE|=\dfrac{24\!\!\!\!\!\diagup^{12}\sqrt{13}}{2\!\!\!\!\diagup_1\sqrt{14}}\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}\\\\|DE|=\dfrac{12\!\!\!\!\!\diagup^6\sqrt{182}}{14\!\!\!\!\!\diagup_7}\\\\\huge\boxed{|DE|=\dfrac{6\sqrt{182}}{7}}[/tex]
3.1
Kreślimy rysunek poglądowy.
Szukany sinus kąta EAB będzie się wyrażał:
[tex]\sin\angle EAB=\dfrac{x}{2y}[/tex]
Trójkąty ABE i BCD są trójkątami podobnymi na podstawie cechy KKK.
Opowiadające sobie boki, to:
[tex]AB\to BC,\ BE\to DB, AE\to CD[/tex]
Układamy proporcję:
[tex]\dfrac{|AB|}{|BC|}=\dfrac{|BE|}{|DB|}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{2y}{3x}=\dfrac{x}{y}[/tex]
Mnożymy na krzyż:
[tex]2y^2=3x^2[/tex]
Przekształćmy tak, aby otrzymać szukany sinus:
[tex]2y^2=3x^2\qquad|\cdot2\\\\4y^2=6x^2\\\\(2y)^2=6x^2\qquad|:6\\\\\dfrac{(2y)^2}{6}=x^2\qquad|:(2y)^2\\\\\dfrac{x^2}{(2y)^2}=\dfrac{1}{6}\to\dfrac{x}{2y}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{6}}[/tex]
Wartość ujemna odpada, ponieważ jest to kąt ostry.
[tex]\dfrac{x}{2y}=\dfrac{\sqrt1}{\sqrt6}\\\\\dfrac{x}{2y}=\dfrac{1}{\sqrt6}\cdot\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}\\\\\boxed{\dfrac{x}{2y}=\dfrac{\sqrt6}{6}}[/tex]
Stąd ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{\sin\angle EAB=\dfrac{\sqrt6}{6}}[/tex]
3.2
Trójkąty ADC i CSE są podobne na podstawie cechy podobieństwa KKK.
Stąd stosunek odpowiadających sobie boków tworzą proporcję.
Znamy sinus kąta EAB. Jest on równy sinusowi kąta SCE. Stąd możemy obliczyć cosinus tego kąta korzystając z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\left(\dfrac{\sqrt6}{6}\right)^2+\cos\alpha=1\\\\\dfrac{6}{36}+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{1}{6}+\cos^2\alpha=1\qquad|-\dfrac{1}{6}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{5}{6}\to \cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{5}{6}}[/tex]
Wartość ujemna odpada.
[tex]\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt6}\cdot\dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}\\\\\boxed{\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{30}}{6}}[/tex]
Mając wartość cosinusa możemy obliczyć odcinek SC:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{|CE|}{|SC|}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{3x}{|SC|}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\\\\\sqrt{30}|SC|=18x\qquad|\cdot\sqrt{30}\\\\30|SC|=18x\sqrt{30}\qquad|:30\\\\|SC|=\dfrac{18\!\!\!\!\!\diagup^3x\sqrt{30}}{30\!\!\!\!\!\diagup_5}\\\\\boxed{|SC|=\dfrac{3x\sqrt{30}}{5}}[/tex]
Odpowiadające boki:
[tex]AD\to SE,\ DC\to EC,\ AC\to SC[/tex]
Obliczamy skalę podobieństwa:
[tex]k=\dfrac{|AC|}{|SC|}\to k=\dfrac{4x}{\frac{3x\sqrt{30}}{5}}=4x\cdot\dfrac{5}{3x\sqrt{30}}=\dfrac{20}{3\sqrt{30}}[/tex]
Stosunek pól jest równy kwadratowi skali. Stąd mamy:
[tex]k^2=\left(\dfrac{20}{3\sqrt{30}}\right)^2\\\\k^2=\dfrac{400}{9\cdot30}\\\\k^2=\dfrac{40}{27}[/tex]
Stąd ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{\dfrac{P_{ADC}}{P_{CSE}}=\dfrac{40}{27}}[/tex]
