Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
1. Ile boków ma wielokąt foremny, którego suma miar kątów wewnętrznych jest równa 1080 stopni?
Twierdzenie:
Każdy wielokąt o n - bokach można rozłożyć na n - 2 trójkątów za pomocą przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka.
Np. dla sześciokąta foremnego takich trójkątów możemy wyznaczyć 4,
to suma kątów wewnętrznych sześciokąta wynosi 4 * 180º = 720º,
to dla ośmiokąta foremnego takich trójkątów możemy wyznaczyć 6
to: Odpowiedź:
Suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego jest równa
(6 trójkątów) * 180º = 1080º
2.
(Ilustracja graficzna do zadania - załącznik).
Pole sześciokąta foremnego jest równe 12√3. Oblicz promień okręgu opisanego na tym sześciokącie oraz promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt.
Sześciokąt foremny (równoboczny) składa się z 6 - ciu trójkątów
równobocznych - to
pole każdego z tych trójkątów równobocznych wynosi:
P = (pole sześciokąta foremnego)/6 = 12√3/6 = 2√3
Okrąg opisany na sześciokątnie wyznaczają wierzchołki sześciokąta,
to promień okręgu opisanego r jest równy długości boku trójkąta
równobocznego a, r = a.
Promień okręgu wpisanego w sześciokąt jest równy wysokości trójkąta równobocznego h, (załącznik).
Zależności - załącznik: h/a = sin 60º = √3/2 /*a to h = a√3/2.
podstawiając za h do "klasycznego" wzoru na pole trójkąta P = ah/2
mamy: P = a*[a√3/2]/2 = a²√3/4, porównamy to pole trójkąta
równobocznego do pola obliczonego wyżej (podkreślone), które zostało
obliczone wychodząc z pola sześciokąta podanego w danych zadania:
to a²√3/4 = 2√3 /:√3 to a²/4 = 2 /*4 to a² = 4*2 to
√a² = √(4*2)
to: Odpowiedź: Promień okręgu opisanego: a = r = 2√2
to: Promień okręgu wpisanego h = a√3/2 = 2√2*√3/2 = √(2*3) = √6
