[tex]\bold{\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2}\\\\ \bold{\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2}[/tex]
[tex]\bold{\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2}[/tex]
[tex](1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2=1^2+2\cdot1\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2+1^2-2\cdot1\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2=\\\\=1+2\sqrt2+2+1-2\sqrt2+2=6[/tex]
Ponieważ tutaj mamy różnicę dwóch nawiasów podniesionych do kwadratów, to zamiast liczyć tak jak w a), możemy potraktować działanie jako różnicę kwadratu i skorzystać z ostatniego wzoru "od końca" (pierwszy nawias to nasze "a", a drugi to "b").
[tex](\sqrt3-1)^2-(2-\sqrt3)^2=\big[(\sqrt3-1)+(2-\sqrt3)\big]\big[(\sqrt3-1)-(2-\sqrt3)\big]=\\\\=\big[\sqrt3-1+2-\sqrt3\big]\big[\sqrt3-1-2+\sqrt3\big]=1\cdot\big[2\sqrt3-3\big]=2\sqrt3-3[/tex]
Ta sama sytuacja co w b)
[tex]\left(2\sqrt3-\frac32\right)^2-\left(2\sqrt3+\frac32\right)^2=\\\\= \big[(2\sqrt3-\frac32)+(2\sqrt3+\frac32)\big]\big[(2\sqrt3-\frac32)-(2\sqrt3+\frac32)\big]= \\\\ = \big[2\sqrt3-\frac32+2\sqrt3+\frac32\big]\big[2\sqrt3-\frac32-2\sqrt3-\frac32)\big]= 4\sqrt3\cdot\big[-\frac62)\big]=-12\sqrt3[/tex]
Tu mamy tylko trzeci wzór skróconego mnożenia. Uwaga: korzystając z tego wzoru, w obu nawiasach musimy mieć taką kolejność, jak w nawiasie z minusem!
[tex](4-\sqrt5)(4+\sqrt5)-(\sqrt5-2)(2+\sqrt5)=\\\\= (4-\sqrt5)(4+\sqrt5)-(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=\\\\= 4^2-(\sqrt5)^2-[(\sqrt5)^2-2^2]=\\\\=16-5-5+4=10[/tex]
[tex](\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt6+\sqrt5)+(\sqrt6-\sqrt5)^2=\\\\= (\sqrt6)^2-(\sqrt5)^2+(\sqrt6)^2-2\cdot\sqrt6\cdot\sqrt5+(\sqrt5)^2=\\\\= 6-5+6-2\sqrt{30}+5=12-2\sqrt{30}[/tex]
[tex]\left(2\sqrt5-\sqrt{10}\right)^2-\left(2\sqrt5+1\right)\left(1-2\sqrt5\right)= \\\\=\left(2\sqrt5\right)^2-2\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{10} + \left(\sqrt{10}\right)^2 -\left(1+2\sqrt5\right)\left(1-2\sqrt5\right)=\\\\=4\cdot5- 4\sqrt{50}+10-\big[1^2-(2\sqrt5)^2]= \\\\=20-4\cdot5\sqrt2+10-1+4\cdot5=\\\\=49-20\sqrt2[/tex]
Wyjaśnienia dodatkowe:
Aby obliczyć kwadrat sumy (różnicy), należy zapisać go jako iloczyn dwóch jednakowych sum (różnic) i wymnożyć każdy składnik z jednego nawiasu przez każdy składnik z drugiego nawiasu.
Np.:
[tex]\left(2\sqrt5-\sqrt{10}\right)^2=\left(2\sqrt5-\sqrt{10}\right)\left(2\sqrt5-\sqrt{10}\right)=\\\\=2\sqrt5\cdot2\sqrt5+2\sqrt5\cdot\left(-\sqrt{10}\right)+\left(-\sqrt{10}\right)\cdot2\sqrt5+\left(-\sqrt{10}\right)\cdot\left(-\sqrt{10}\right)=\\\\=4\cdot5-2\sqrt{50}-2\sqrt{50}+10= 20-2\cdot5\sqrt2-2\cdot5\sqrt2+10 = 30-20\sqrt2[/tex]
skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, np.:
[tex]\left(2\sqrt5-\sqrt{10}\right)^2=\left(2\sqrt5\right)^2-2\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{10} + \left(\sqrt{10}\right)^2=\\\\=4\cdot5- 4\sqrt{50}+10=20-4\cdot5\sqrt2+10=30-20\sqrt2[/tex]
Również obliczając różnicę kwadratów, możemy wykonać mnożenie składników obu sum, np.:
[tex]\left(2\sqrt5+1\right)\left(1-2\sqrt5\right)= 2\sqrt5\cdot1+2\sqrt5\cdot\left(-2\sqrt5\right)+1\cdot1+1\cdot\left(-2\sqrt5\right)=\\\\ =2\sqrt5-4\cdot5+1-2\sqrt5=-20+1=-19[/tex]
lub skorzystać ze wzoru:
Np.: [tex]\left(2\sqrt5+1\right)\left(1-2\sqrt5\right)=\left(1+2\sqrt5\right)\left(1-2\sqrt5\right)=1^2- \left(2\sqrt5\right)^2=1-4\cdot5=-19[/tex]
Oba sposoby są poprawne (wyjątek: sprawdzian ze wzorów skróconego mnożenia), ale wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia zdecydowanie przyśpiesza obliczenia {szczególnie w takich przykładach jak b) i c)}.
