Porównywanie ułamków. Oś liczbowa.
Podane liczby zaznaczono kropkami na osi liczbowej. Wskaż litery odpowiadające tym liczbom.
[tex]a)\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{4}{3},\ \left(\dfrac{3}{4}\right)^2,\ \left(\dfrac{3}{4}\right)^5,\ \left(\dfrac{4}{3}\right)^2\\\\b)\ 0,07; (-0,7)^2;\ (-0,7)^4;\ (-0,7)^5;\ (-0,7)^6[/tex]
[tex]a)\begin{array}{ccccccccc}\left(\dfrac{3}{4}\right)^5& < &\left(\dfrac{3}{4}\right)^2& < &\dfrac{3}{4}& < &\dfrac{4}{3}& < &\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\\A&&B&&C&&D&&E\end{array}[/tex]
[tex]b)\ \begin{array}{ccccccccc}-0,7& < &(-0,7)^5 & < & (-0,7)^6& < & (-0,7)^4 & < & (-0,7)^2\\A&&B&&C&&D&&E\end{array}[/tex]
Rozwiązanie.
a)
Musimy porównać ułamki zwykłe.
Wiemy, że jeżeli liczba n spełnia warunek 0 < n < 1, to im większa potęga tej liczby, tym mniejsza liczba w wyniku.
Stąd mamy:
[tex]\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 < \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 < \dfrac{3}{4}[/tex]
Wiemy również, że jeżeli liczba n > 0, to im większa potęga tej liczby, tym większa liczba w wyniku.
Stąd mamy:
[tex]\dfrac{4}{3} < \left(\dfrac{4}{3}\right)^2[/tex]
Oczywiście
[tex]\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{3}[/tex]
Stąd ostatecznie mamy kolejność:
[tex]\begin{array}{ccccccccc}\left(\dfrac{3}{4}\right)^5& < &\left(\dfrac{3}{4}\right)^2& < &\dfrac{3}{4}& < &\dfrac{4}{3}& < &\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\\A&&B&&C&&D&&E\end{array}[/tex]
b)
Mamy liczby ujemne. Potęga o wykładniku parzystym liczby ujemnej daje nam w wyniku liczbę dodatnią.
Liczba, co do wartości bezwzględnej jest mniejsza niż 1. Zatem im większa potęga, tym bliżej zera będzie liczba.
Określmy znaki:
[tex]-0,7 < 0\\(-0,7)^2=0,7^2 > 0\\(-0,7)^4=0,7^4 > 0\\(-0,7)^5 < 0\\(-0,7)^6=0,7^6 > 0[/tex]
Logiczne jest, że liczby ujemne są mniejsze niż liczby dodatnie.
Porównajmy liczby dodatnie i ujemne:
[tex]-0,7 < (-0,7)^5\\\\0,7^6 < 0,7^4 < 0,7^2[/tex]
Stąd ostatecznie mamy kolejność:
[tex]\begin{array}{ccccccccc}-0,7& < &(-0,7)^5 & < & (-0,7)^6& < & (-0,7)^4 & < & (-0,7)^2\\A&&B&&C&&D&&E\end{array}[/tex]
