Twierdzenie cosinusów. Proste prostopadłe w układzie współrzędnych.
Zad.1
W trójkącie ABC mamy dane długości dwóch boków 8 i 12 oraz miarę kąta między nimi 60°. Do obliczenia mamy długość trzeciego boku trójkąta.
Skorzystamy tutaj z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
[tex]b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta między, którymi znajduje się kąt [tex]\alpha[/tex]
[tex]a[/tex] - bok trójkąta leżący naprzeciw kąta [tex]\alpha[/tex]
Podstawiamy:
[tex]b=8,\ c=12,\ \alpha=60^o[/tex]
[tex]a^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cdot\cos60^o[/tex]
wartość cosinusa odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów.
[tex]\cos60^o=\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]a^2=64+144-192\cdot\dfrac{1}{2}\\\\a^2=208-96\\\\a^2=112\to a=\sqrt{112}\\\\a=\sqrt{16\cdot7}\\\\\huge\boxed{a=4\sqrt7}[/tex]
Zad.2
Dana jest prostą o równaniu y = 2x + 3. Mamy znaleźć prostą prostopadłą do tej prostej przechodzącą przez punkt (4, 5).
Skorzystamy z twierdzenia:
[tex]k:y=a_1x+b_1,\ l:y=a_2x+b_2\\\\k\ \perp\ l\iff a_1\cdot a_2=-1[/tex]
Z równania danej prostej odczytujemy wartość współczynnika kierunkowego [tex]a_1=2[/tex].
Obliczamy współczynnik kierunkowy szukanej prostej:
[tex]2\cdot a_2=-1\qquad|:2\\\\\boxed{a_2=-\dfrac{1}{2}}[/tex]
Otrzymujemy wyjściową postać równania szukanej prostej:
[tex]y=-\dfrac{1}{2}x+b[/tex]
Prosta ma przechodzić przez punkt (4, 5). W związku z tym, współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie prostej.
Podstawiamy x = 4 i y = 5:
[tex]5=-\dfrac{1}{2}\cdot4+b\\\\5=-2+b\qquad|+2\\\\\boxed{b=7}[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy:
[tex]\huge\boxed{y=-\dfrac{1}{2}x+7}[/tex]
