Granica ciągu. Liczba Nepera (Eulera).
Mamy do obliczenia granicę:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n}{5n-2}\right)^{7n+11}[/tex]
Liczba Nepera, jest to liczba niewymierna równa:
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e}[/tex]
Postać ciągu sugeruje zastosowanie powyższej granicy.
analogicznie mamy
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}=e}\qquad(*)[/tex]
Przekształćmy ciąg do takiej postaci:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n-2+2}{5n-2}\right)^{7n+11}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n-2}{5n-2}+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{7n+11}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{7n+11}=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\cdot\frac{2}{5n-2}\right]^{7n+11}[/tex]
[tex]=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\right]^{\frac{2}{5n-2}\cdot(7n+11)}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\right]^{\frac{14n+22}{5n-2}}[/tex]
Na podstawie granicy [tex](*)[/tex] mamy, że
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}}=e[/tex]
stąd:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\right]^{\frac{2}{5n-2}\cdot(7n+11)}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{14n+22}{5n-2}[/tex]
Zajmijmy się granicą w wykładniku.
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14n+22}{5n-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\left(14+\frac{22}{n}\right)}{n\left(5-\frac{2}{n}\right)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14+\frac{22}{n}}{5-\frac{2}{n}}[/tex]
Jako, że
[tex]\dfrac{22}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
Otrzymujemy
[tex]=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14+\frac{22}{n}}{5-\frac{2}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14}{5}=\dfrac{14}{5}[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n}{5n-2}\right)^{7n+11}=e^{\frac{14}{5}}}[/tex]
