Granica ciągu. Liczba Nepera (Eulera) e.
Do obliczenia mamy granicę ciągu:
[tex]a_n=\left(1-\dfrac{4}{n}\right)^{-n+3}[/tex]
Liczba Nepera, jest to liczba niewymierna równa:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e[/tex]
stąd:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}=e[/tex]
Obliczamy granicę:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{4}{n}\right)^{-n+3}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{-n+3}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{-\frac{n}{4}\left[-\frac{4}{n}(-n+3)\right]}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{\frac{n}{-4}\right]^{4-\frac{12}{n}}[/tex]
Jako, że
[tex]-\dfrac{12}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
Otrzymujemy:
[tex]=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{\frac{n}{-4}\right]^4[/tex]
Wiemy, że
[tex]\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}\xrightarrow{n\to\infty} e[/tex]
stąd ostatecznie otrzymujemy:
[tex]\huge\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{4}{n}\right)^{-n+3}=e^4}[/tex]
