Pierwiastek kwadratowy.
Mamy obliczyć wartości pierwiastków kwadratowych oraz sprawdzić swoje rozwiązania.
Definicja pierwiastka kwadratowego:
[tex]\sqrt{a}=b\iff b^2=a\qquad\text{dla}\ a,b\geq0[/tex]
Na podstawie tej definicji obliczymy wartości pierwiastków oraz sprawdzimy poprawność swoich rozwiązań.
Obliczamy pierwiastek danej liczby, a następnie podnosimy wynik do kwadratu sprawdzając, czy ten kwadrat jest równy liczbie podpierwiastkowej.
[tex]a)\\\sqrt1=1\\1^2=1\cdot1=1\\\\\sqrt{\dfrac{25}{49}}=\dfrac{5}{7}\\\\\left(\dfrac{5}{7}\right)^2=\dfrac{5^2}{7^2}=\dfrac{25}{49}\\\\\\\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{4\cdot2+1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}=1\dfrac{1}{2}\\\\\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}=2\dfrac{1}{4}\\\\\\\sqrt{0,01}=0,1\\0,1^2=0,1\cdot0,1=0,01\\\\\sqrt{0,04}=0,2\\0,2^2=0,2\cdot0,2=0,04[/tex]
[tex]b)\\\sqrt0=0\\0^2=0\\\\\sqrt{\dfrac{100}{121}}=\dfrac{10}{11}\\\\\left(\dfrac{10}{11}\right)^2=\dfrac{10^2}{11^2}=\dfrac{100}{121}\\\\\\\sqrt{11\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{9\cdot11+1}{9}}=\sqrt{\dfrac{100}{9}}=\dfrac{10}{3}=3\dfrac{1}{3}\\\\\left(\dfrac{10}{3}\right)^2=\dfrac{10^2}{3^2}=\dfrac{100}{9}=11\dfrac{1}{9}\\\\\\\sqrt{1,21}=1,1\\1,1^2=1,1\cdot1,1=1,21\\\\\sqrt{1,44}=1,2\\1,2^2=1,2\cdot1,2=1,44[/tex]
Skorzystaliśmy tu z twierdzenia dotyczącego potęg:
[tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\qquad\text{dla}\ b\neq0[/tex]
Mogliśmy również skorzystać z twierdzenia dotyczącego pierwiastków:
[tex]\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\qquad\text{dla}\ a\geq0\ \wedge\ b > 0[/tex]
Pierwiastki z ułamków dziesiętnych można było również policzyć jako pierwiastki ułamków zwykłych:
[tex]\sqrt{0,01}=\sqrt{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{\sqrt1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}=0,1\\\\\sqrt{0,04}=\sqrt{\dfrac{4}{100}}=\dfrac{\sqrt4}{\sqrt{100}}=\dfrac{2}{10}=0,2\\\\\sqrt{1,21}=\sqrt{\dfrac{121}{100}}=\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{100}}=\dfrac{11}{10}=1,1\\\\\sqrt{1,44}=\sqrt{\dfrac{144}{100}}=\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}}=\dfrac{12}{10}=1,2[/tex]
