Na ile sposobów możemy wybrać 4 różne elementy ze zbioru {1,2,...,9}, jeśli:
a) kolejność wyboru elementów jest istotna?
b) kolejność wyboru elementów nie jest istotna?


Odpowiedź :

Kombinatoryka (kombinacje i wariacje bez powtórzeń).

Na ile sposobów możemy wybrać 4 różne elementy ze zbioru {1,2,...,9}.

Mamy dwa przypadki:

a) kolejność wyboru elementów jest istotna?

b) kolejność wyboru elementów nie jest istotna?

W przypadku a) mamy do czynienia z wariacjami bez powtórzeń.

Każdy ciąg k-wyrazowy o wyrazach ze zbioru n-elementowego A (k ≤ n) , przy czym każdy element zbioru A może wystąpić w ciągu co najwyżej raz, nazywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru A.

Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

[tex]V^k_n=\dfrac{n!}{(n-k)!}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot...\cdot(n+1-k)[/tex]

W naszym przypadku k = 4 i n = 9. Podstawiamy:

[tex]V^4_9=\dfrac{9!}{(9-4)!}=\dfrac{9!}{5!}=\dfrac{5!\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}{5!}=6\cdot7\cdot8\cdot9=3024[/tex]

Odp: 4 różne elementy, w których kolejność jest istotna, możemy wybrać na 3024 sposoby.

W przypadku b) mamy do czynienia z kombinacjami.

k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego A (k ≤ n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A.

Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

[tex]C^k_n={n\choose k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]

W naszym przypadku k = 4 i n = 9. Podstawiamy:

[tex]C^4_9=\dfrac{9!}{4!(9-4)!}=\dfrac{9!}{4!\cdot5!}=\dfrac{5!\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5!}=7\cdot2\cdot9=126[/tex]

Odp: 4 różne elementy, w których kolejność nie jest istotna, możemy wybrać na 126 sposoby.