a)
Pole trójkąta można obliczyć najprościej:
[tex]P_{ABC}=\frac{1}{2}|BC|\cdot h[/tex]
gdzie h jest wysokością poprowadzoną z wierzchołka A. Łatwo policzyć, że:
[tex]|AB|=2x_0\\h=|-1-y_0|=1+\frac{25}{x_0^2}\\P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot2x_0\cdot(1+\frac{25}{x_0^2})=x_0+\frac{25}{x_0}\\x_0+\frac{25}{x_0}\geq26\\x_0^2-26x_0+25\geq0\\\Delta=676-100=576\\\sqrt\Delta=24\\x_0^{(1)}=\frac{26-24}{2}=1 < 13\\x_0^{(2)}=\frac{26+24}{2}=25[/tex]
zatem nasze rozwiązania to x0=25
b)
Wykorzystam wcześniej wyprowadzony wzór na pole:
[tex]x_0+\frac{25}{x_0}\geq m[/tex]
szukamy zatem minimalnego pola
[tex]\frac{dP}{dx_0}=1-\frac{25}{x_0^2}=0\\x_0=5\\P(x_0)=5+5=10\\m=10[/tex]
upewnijmy się jeszcze, że jest to faktycznie minimum:
[tex]\frac{d^2P}{dx_0^2}=\frac{50}{x_0^2}\\\textrm{dla}\ x_0=5\\\frac{50}{x_0^3}=\frac{50}{125}=\frac{2}{5} > 0[/tex]
druga pochodna w punkcie ekstremum jest dodatnia, czyli mamy minimum.
pozdrawiam
