Odpowiedź:
(x² + 11x + 30)/(x² + 3x - 10) < 0
Ponieważ w ułamku mianownik nie morze być równy 0 ,więc najpierw obliczamy miejsca zerowe mianownika , dla których wyrażenie w mianowniku równe jest 0
x² + 3x - 10 = 0
a = 1 , b = 3 , c = - 10
Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (- 10) = 9 + 40 = 49
√Δ = √49 = 7
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( - 3 - 7)/2 = - 10/2 = - 5
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 3 + 7)/2 = 4/2 = 2
Określamy teraz dziedzinę wyrażenia
D: x ∈ R \ { - 5 , 2 }
Sprawdzamy teraz dla jakich wartości x licznik wyrażenia jest równy 0
x² + 11x + 30 = 0
a = 1 , b = 11 , c = 30
Δ = b² - 4ac = 11² - 4 * 1 * 30 = 121 - 120 = 1
√Δ = √1 = 1
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( -11 - 1)/2 = - 12/2 = - 6
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 11 + 1)/2 = - 10/2 = - 5
Korzystając z poprzednich obliczeń przedstawiamy licznik i mianownik wyrażenia w postaci iloczynowej równań kwadratowego
[(x + 6)(x + 5)]/[(x + 5)(x - 2)] < 0
W liczniku i mianowniku występuje wyrażenie x + 5 , które możemy skrócić i otrzymujemy :
(x + 6)/(x - 2) < 0
Aby zachować znak nierówności mnożymy całość wyrażenia przez
(x - 2)²
(x + 6)(x - 2) < 0
x + 6 > 0 ∧ x - 2 < 0 ∨ x + 6 < 0 ∧ x - 2 > 0
x > - 6 ∧ x < 2 ∨ x < - 6 ∧ x > 2
x > - 6 ∧ x < 2
x ∈ ( - 6 , 2 )
Uwzględniamy teraz dziedzinę wyrażenia : x ≠ - 5 i x ≠ 2
x∈ (- 6 , - 5 ) ∪ ( - 5 , 2 )
