Odpowiedź:
[tex]k\in(13\frac{2}{3},14)\cup(14,14\frac{1}{3})=(13\frac{2}{3},14\frac{1}{3})-\{14\}\\min=13\frac{2}{3}=\frac{41}{3}\\max=14\frac{1}{3}=\frac{43}{3}\\r=14[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozwiążmy układ równań w zależności od parametru k.
[tex]\left \{ {{2x-3y=3-|14-k|} \atop {-3x+5y=|3k-42|-5}} \right. \\\left \{ {{2x-3y=3-|k-14|\ |*3} \atop {-3x+5y=3|k-14|-5\ |*2}} \right. \\\left \{ {{6x-9y=9-3|k-14|} \atop {-6x+10y=6|k-14|-10}} \right|+\\\left \{ {{y=3|k-14|-1} \atop {-6x+10(3|k-14|-1)=6|k-14|-10}} \right. \\\left \{ {{y=3|k-14|-1} \atop {-6x+30|k-14|-10=6|k-14|-10}} \right. \\\left \{ {{y=3|k-14|-1} \atop {-6x+30|k-14|=6|k-14|}} \right. \\\left \{ {{y=3|k-14|-1} \atop {-6x=-24|k-14|\ |:(-6)}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=3|k-14|-1} \atop {x=4|k-14|}} \right.[/tex]
Zauważmy, że x jako iloczyn liczby dodatniej 4 i wartości bezwzględnej jest nieujemny. Wartość 0 przyjmuje dla [tex]k=14[/tex]. Dla pozostałych k x przyjmuje wartości dodatnie.
Zatem aby x i y były przeciwnych znaków, wystarczy, żeby y był ujemny. Stąd
[tex]y < 0\\3|14-k|-1 < 0\\3|14-k| < 1\ |:3\\|14-k| < \frac{1}{3}\\14-k < \frac{1}{3}\ \land\ 14-k > -\frac{1}{3}\\-k < -13\frac{2}{3}\ |:(-1)\ \land\ -k > -14\frac{1}{3}\ |:(-1)\\k > 13\frac{2}{3}\ \land\ k < 14\frac{1}{3}\\k\in(13\frac{2}{3},14\frac{1}{3})[/tex]
Musimy wziąć jeszcze pod uwagę warunek, że x ma być różny od 0, czyli wykluczyć [tex]k=14[/tex], więc ostatecznie
[tex]k\in(13\frac{2}{3},14)\cup(14,14\frac{1}{3})=(13\frac{2}{3},14\frac{1}{3})-\{14\}[/tex]