Odpowiedź :
⋅Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie: eˣ
f(x)=ⅇ^x⋅(x^2-5x+2), f(x) = y = eˣ⋅(x²- 5x + 2)
Dla potrzeb zadania wystarczy wiedzieć, że pochodna funkcji:
[a⋅f(x)]' = a⋅f'(x), a - stała, pochodna funkcji stałej, (a)' = 0
f(x) = y = eˣ to f'(x) = df(x)/dx = df/dx = dy/dx = y' = (eˣ)' = eˣ,
(specjalnie tu napisałem dłuższą równość symboli oznaczania pochodnej funkcji - bo w literaturze takimi oznaczeniami się operuje, ale to znaczy tylko tyle, że: (eˣ)' = eˣ
(x)' = 1, (x²)' = 2x, x³ = 3x² ..., (x^{n})' = nx^{n -1}.
pochodna iloczynu dwóch fnkcji (uv)' = u'v + uv'
_________________________________ to
f(x) = y = eˣ⋅(x²- 5x + 2), funkcja ta jest ciągła i różniczkowalna w całym przedziale x ∈ R, to [(uv)' = u'v + uv']
f'(x) = eˣ⋅(x²- 5x + 2) + eˣ⋅(2x- 5) = eˣ(x²- 5x + 2 + 2x- 5) to
f'(x) = eˣ⋅(x²- 3x - 3)
Przedziały monotoniczności, ekstrema:
Jeźeli f'(x) > 0 (dodatnia) to f(x) ╱ (rosnąca),
Jeźeli f'(x) < 0 (ujemna) to f(x) ╲ (malejąca),
f'(x) = 0 to (pochodna zmienia znak) to f(x) ekstremum
Badamy pochodną: f'(x) = eˣ⋅(x²- 3x - 3), gdzie dla x ∈ R ⇒ eˣ ∈ (0, + ∞)
∆ = 9 + 12 = 21, √∆= √21, x1,2 = (3 ∓√21)/2, to parabola gałęziami do góry
to dla x∈ (- ∞; (3 - √21)/2), f(x) ╱ (rosnąca), bo f'(x) > 0
ta dla x∈ ((3 - √21)/2; (3 + √21)/2 ), f(x) ╲ (malejąca), bo f'(x) < 0
to dla x = xo = (3 - √21)/2), f'(xo) = 0, to f(xo) ma ekstremum lokalne -
maximum, bo pochodna w punkcie xo znienia znak z ( + ) na ( − )
a f(x) w punkcie xo zmienia się z rosnącej ╱╲ na malejącą,
to analogicznie:
dla x∈ ((3 - √21)/2; (3 + √21)/2 ), f(x) ╲ (malejąca), bo f'(x) < 0
to dla x∈ ((3 + √21)/2; + ∞), f(x) ╱ (rosnąca), bo f'(x) > 0
dla x = xo = (3 + √21)/2), f'(xo) = 0, to f(xo) ma ekstremum lokalne -
minimum, bo pochodna w punkcie xo zmienia znak z ( − ) na ( + )
a f(x) w punkcie xo zmienia się z malejącej ╲╱ na rosnącą.
Punkty przegięcia, f(x) wypukła i wklęsła.
Druga pochodna: f''(x) = [eˣ⋅(x²- 3x - 3)]' to [(uv)' = u'v + uv'],
f''(x) = [eˣ⋅(x²- 3x - 3)] + [eˣ⋅(2x - 3)] = eˣ⋅[x²- 3x - 3 + 2x - 3] to
f''(x) = eˣ⋅[x²- x - 6], ∆ = 1 + 24 = 25, √∆ = 5, x1,2 = (1 ∓5)/2, x1 = -2, x2 = 3,
postać iloczynowa (x + 2)(x - 3) = 0 to dla (xo = - 2 ∧ xo = 3) ⇒ f''(xo) = 0
Jeżeli f''(xo) = 0 to f(x) ma punkt przegięcia: a więc w punktach:
xo = - 2 i xo = 3.
Druga pochodna f''(x) dla x ∈ {(− ∞; − 2) ∪ (3; + ∞)} jest f''(x) > 0,
dodatnia, to w tych przedziałach f(x) jest wypukła.
f''(x) dla x ∈ (− 2; 3) jest f''(x)< 0, ujemna,
to w tym przedziale f(x) jest wklęsła.
[Jeżeli patrzymy od strony ujemnego zwrotu osi 0Y, to funkcja
wypukła jest zwrócona wypukłością, "wybrzuszeniem" do dołu a
funkcja wklęsła, wklęsłością, "wybrzuszeniem" do góry]
[tex]\bold{f(x)=e^x\cdot(x^2-5x+2)}\\\\\bold{D_f= R}[/tex]
Obliczamy pierwszą pochodną:
[tex]\bold{f'(x)=\left[e^x\cdot(x^2-5x+2)\right ] '=\left(e^x\right)'\cdot (x^2-5x+2)+e^x\cdot\left(x^2-5x+2\right)'=}\\\\\bold{e^x\cdot (x^2-5x+2)+e^x\cdot(2x-5)=e^x\cdot (x^2-5x+2x+2-5)}\\\\\bold{f'(x)=e^x\cdot (x^2-3x-3)}}\\\\\bold{D_{f'}= D_f}[/tex]
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
f'(x) = 0
[tex]\bold{e^x\cdot (x^2-3x-3)=0\quad\iff\quad x^2-3x-3=0}\\\\\bold{\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)=9+12=21\quad\implies\quad \sqrt{\Delta}=\sqrt{21}}\\\\\bold{x_1=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\,,\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{21}}{2}}[/tex]
Punkty [tex]\bold{x_1=\frac{3-\sqrt{21}}{2}}[/tex] i [tex]\bold{ x_2=\frac{3+\sqrt{21}}{2}}[/tex] są punktami podejrzanymi o istnienie ekstremum.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum:
Badamy znaki pochodnej w przedziałach wyznaczonych przez jej miejsca zerowe.
[tex]\bold{\bigwedge\limits_{x\in D}\ e^x > 0}[/tex]
zatem znak pochodnej zależy tylko od znaku trójmianu kwadratowego
a = 1 > 0 czyli ramiona paraboli w górę
wartości ujemne trójmianu poniżej osi X, wartości większe powyżej osi X
Czyli:
[tex]\bold{f'(x) > 0\quad\iff\quad x\in(-\infty\,;\ \frac{3-\sqrt{21}}2)\cup(\frac{3+\sqrt{21}}2\,;\ \infty)}\\\\\bold{f'(x) < 0\quad\iff\quad x\in(\frac{3-\sqrt{21}}2\,;\ \frac{3+\sqrt{21}}2)}[/tex]
Zatem:
[tex]\bold{f'(x) > 0\ dla\ x\in(-\infty; \frac{3-\sqrt{21}}2)\ \ \wedge\ \ f'(x) < 0\ dla\ x\in(\frac{3-\sqrt{21}}2\,;\frac{3+\sqrt{21}}2)\implies}[/tex]
[tex]\bold{\implies}[/tex] w punkcie [tex]\bold{x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}}[/tex] funkcja ma maksimum lokalne wynoszące:
[tex]\bold{f'(x) < 0\ dla\ x\in(\frac{3-\sqrt{21}}2\,;\frac{3+\sqrt{21}}2)\ \ \wedge\ \ f'(x) > 0\ dla\ x\in(\frac{3-\sqrt{21}}2;\infty)\implies}[/tex]
[tex]\bold{\implies}[/tex] w punkcie [tex]\bold{x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}}[/tex] funkcja ma minimum lokalne
Funkcja rośnie w przedziałach, w których jej pochodna jest dodatnia, a maleje w tych, w których jej pochodna jest ujemna, czyli:
[tex]\bold{f\nearrow\quad dla\ \ x\in(-\infty\,;\ \frac{3-\sqrt{21}}2)\ oraz\ dla\ x\in(\frac{3+\sqrt{21}}2\,;\ \infty)}\\\\\bold{f\searrow\quad dla\ \ x\in(\frac{3-\sqrt{21}}2\,;\ \frac{3+\sqrt{21}}2)}[/tex]
Obliczamy drugą pochodną:
[tex]\bold{f''(x)=\left[e^x\cdot(x^2-3x-3)\right]'=\left(e^x\right)'\cdot(x^2-3x-3)+e^x\cdot\left(x^2-3x-3\right)'=}\\\\\bold{=e^x\cdot(x^2-3x-3)+e^x\cdot\left(2x-3\right)=e^x\cdot(x^2-3x+2x-3-3)}\\\\\bold{f''(x)=e^x\cdot(x^2-x-6)}[/tex]
[tex]\bold{D_{f''}= D_f}[/tex]
Miejsca zerowe drugiej pochodnej:
[tex]\bold{e^x\cdot (x^2-x-6)=0\quad\iff\quad x^2-x-6=0}\\\\\bold{\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25\quad\implies\quad \sqrt{\Delta}=5}\\\\\bold{x_1=\frac{1-5}{2}=-2\,,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3}[/tex]
W punktach o odciętych -2 i 3 mogą istnieć punkty przegięcia.
Badamy znaki drugiej pochodnej w przedziałach wyznaczonych przez jej miejsca zerowe.
[tex]\bold{\bigwedge\limits_{x\in D}\ e^x > 0}[/tex]
zatem znak drugiej pochodnej zależy tylko od znaku trójmianu kwadratowego
a = 1 > 0 czyli ramiona paraboli w górę
wartości ujemne trójmianu poniżej osi X, wartości większe powyżej osi X
Czyli:
[tex]\bold{f''(x) > 0\quad\iff\quad x\in(-\infty\,;-2)\cup(3\,;\, \infty)}\\\\\bold{f''(x) < 0\quad\iff\quad x\in(-2\,;\,3)}[/tex]
Zatem:
[tex]\bold{f\cup\quad dla\quad x\in(-\infty\,;-2)\cup(3\,;\, \infty)}\qquad\{\text{funkcja wypuk\l a}\}\\\\ \bold{f\cap\quad dla\quad x\in(-2\,;\,3)}\qquad\{\text{funkcja wkles\l a}\}[/tex]
Oraz:
[tex]\bold{f\cup\ dla\ x\in(-\infty;-2)\ \ \wedge\ \ f\cap\ dla\ x\in(-2\,;\,3)\implies}[/tex]
[tex]\bold{\implies}[/tex] w punkcie x = -2 funkcja ma punkt przegięcia
[tex]\bold{f\cap\ dla\ x\in(-2\,;\,3)\ \ \wedge\ \ f\cup\ dla\ x\in(3;\,\infty)\implies}[/tex]
[tex]\bold{\implies}[/tex] w punkcie x = 3 funkcja ma punkt przegięcia