Rozwiązanie:
Ustalmy liczbę naturalną [tex]n[/tex] o czterech dzielnikach naturalnych. Na początek zauważmy, że zarówno dla podpunktu [tex]a)[/tex] oraz [tex]b)[/tex] możemy wykluczyć przypadek [tex]n=1[/tex]. Możemy zatem zapisać dwa dzielniki naszej liczby, są nimi [tex]1[/tex] i [tex]n[/tex]. Poza nimi istnieją jeszcze dwa - niech będą nimi [tex]x[/tex] oraz [tex]y[/tex]. Muszą być to liczby pierwsze, gdyż w przeciwnym wypadku istniałoby więcej dzielników liczby [tex]n[/tex]. Poza tym [tex]n=xy[/tex].
[tex]a) \ s=56[/tex]
[tex]1+x+y+n=56\\1+x+y+xy=56\\x(1+y)+(1+y)=56\\(x+1)(y+1)=56[/tex]
Teraz zauważmy, że:
[tex]56=1 \cdot 56 = 2 \cdot 28 = 4 \cdot 14=7 \cdot 8[/tex]
Pierwsze dwa przypadki od razu wykluczamy, gdyż wtedy [tex]x =1 \vee y=1[/tex]. Trzeci przypadek też należy wyeliminować, ponieważ wtedy [tex]x,y[/tex] nie będą liczbami pierwszymi. Pasuje tylko opcja:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+1=4\\y+1=14\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=3\\y=13\\\end{array}\right[/tex]
(lub przypadek symetryczny)
Zatem [tex]n=xy=3 \cdot 13=39[/tex].
Dla przykładu [tex]b)[/tex] podobnie.
